正則變換生成函數

哈密頓力學裏,當計算正則變換時,生成函數扮演的角色,好似在兩組正則坐標 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ,採取一種間接的方法,稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式

(1)

其中, 是舊廣義坐標 是舊廣義動量 是新廣義坐標, 是新廣義動量, 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量,生成函數 是時間。

生成函數 的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 保證是正則變換。

生成函數列表

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生成函數 導數
   
   
   
   

第一型生成函數

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第一型生成函數   只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,

 

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數

 

新廣義坐標   和舊廣義坐標   都是自變量,其對於時間的全導數    互相無關,所以,以下   個方程式都必須成立:

 (2)
 (3)
 (4)

  個方程式設定了變換   ,步驟如下:

第一組的   個方程式 (2) ,設定了    個函數方程式

 

在理想情況下,這些方程式可以逆算出    個函數方程式

 (5)

第二組的   個方程式 (3) ,設定了    個函數方程式

 

代入函數方程式 (5) ,可以算出    個函數方程式

 (6)

  個函數方程式 (5) 、(6) ,可以逆算出   個函數方程式

 
 

代入新哈密頓量   的方程式 (4) ,可以得到

 

第二型生成函數

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第二型生成函數   只跟舊廣義坐標   、新廣義動量   有關 :

 

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數:

 

由於舊廣義坐標   與新廣義動量   必須彼此無關,以下   方程式必須成立:

 (7) 
 (8)
 (9)

  個方程式設定了變換   。步驟如下:

第一組的   個方程式 (7) ,設定了   的函數方程式

 

在理想情況下,這些方程式可以逆算出   的函數方程式

 (10)

第二組的   個方程式 (8) ,設定了的函數方程式

 

代入函數方程式 (10) ,可以算出   函數方程式

 (11)

由函數方程式 (10) 、(11) ,可以算出函數方程式

 
 

代入新哈密頓量的方程式 (9) ,則可得到

 

第三型生成函數

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第三型生成函數只跟舊廣義動量   、新廣義坐標   有關:

 

以下   方程式設定了變換  

 
 
 

第四型生成函數

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第四型生成函數   只跟舊廣義動量   、新廣義動量   有關:

 

以下   方程式設定了變換  

 
 
 

實例 1

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第一型生成函數有一個特別簡易案例:

 

方程式 (2) ,(3) ,(4) 的答案分別為

 
 
 

實例 2

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再擧一個涉及第二型生成函數,比較複雜的例子。讓

 

這裏,   是一組   個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換,

 

實例 3

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有時候,可以將一個給定的哈密頓量,變成一個很像諧振子的哈密頓量,

 

例如,假若哈密頓量為

 (12)

這裏,  是廣義動量,  是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是

 (13)
 (14)

代入方程式 (12) ,新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同:

 

這變換用的是第三型生成函數   ;其對於   的導數是

 

代入方程式 (13) 、(14) ,

 

對於   積分,可以得到生成函數  

 

最後,檢查答案是否正確:

 

參閱

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參考文獻

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