正则变换生成函数

哈密顿力学里,当计算正则变换时,生成函数扮演的角色,好似在两组正则坐标 之间的一座桥。为了要保证正则变换的正确性 ,采取一种间接的方法,称为生成函数方法。这两组变数必须符合方程式

(1)

其中, 是旧广义坐标 是旧广义动量 是新广义坐标, 是新广义动量, 分别为旧哈密顿量与新哈密顿量,生成函数 是时间。

生成函数 的参数,除了时间以外,一半是旧的正则坐标;另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定,一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种不同的变换,从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换 保证是正则变换。

生成函数列表

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生成函数 导数
   
   
   
   

第一型生成函数

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第一型生成函数   只跟旧广义坐标、新广义坐标有关,

 

代入方程式 (1) 。展开生成函数对于时间的全导数

 

新广义坐标   和旧广义坐标   都是自变量,其对于时间的全导数    互相无关,所以,以下   个方程式都必须成立:

 (2)
 (3)
 (4)

  个方程式设定了变换   ,步骤如下:

第一组的   个方程式 (2) ,设定了    个函数方程式

 

在理想情况下,这些方程式可以逆算出    个函数方程式

 (5)

第二组的   个方程式 (3) ,设定了    个函数方程式

 

代入函数方程式 (5) ,可以算出    个函数方程式

 (6)

  个函数方程式 (5) 、(6) ,可以逆算出   个函数方程式

 
 

代入新哈密顿量   的方程式 (4) ,可以得到

 

第二型生成函数

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第二型生成函数   只跟旧广义坐标   、新广义动量   有关 :

 

代入方程式 (1) 。展开生成函数随时间的全导数:

 

由于旧广义坐标   与新广义动量   必须彼此无关,以下   方程式必须成立:

 (7) 
 (8)
 (9)

  个方程式设定了变换   。步骤如下:

第一组的   个方程式 (7) ,设定了   的函数方程式

 

在理想情况下,这些方程式可以逆算出   的函数方程式

 (10)

第二组的   个方程式 (8) ,设定了的函数方程式

 

代入函数方程式 (10) ,可以算出   函数方程式

 (11)

由函数方程式 (10) 、(11) ,可以算出函数方程式

 
 

代入新哈密顿量的方程式 (9) ,则可得到

 

第三型生成函数

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第三型生成函数只跟旧广义动量   、新广义坐标   有关:

 

以下   方程式设定了变换  

 
 
 

第四型生成函数

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第四型生成函数   只跟旧广义动量   、新广义动量   有关:

 

以下   方程式设定了变换  

 
 
 

实例 1

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第一型生成函数有一个特别简易案例:

 

方程式 (2) ,(3) ,(4) 的答案分别为

 
 
 

实例 2

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再举一个涉及第二型生成函数,比较复杂的例子。让

 

这里,   是一组   个函数。

答案是一个广义坐标的点变换,

 

实例 3

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有时候,可以将一个给定的哈密顿量,变成一个很像谐振子的哈密顿量,

 

例如,假若哈密顿量为

 (12)

这里,  是广义动量,  是广义坐标。

一个优良的正则变换选择是

 (13)
 (14)

代入方程式 (12) ,新哈密顿量的形式与谐振子的哈密顿量型式相同:

 

这变换用的是第三型生成函数   ;其对于   的导数是

 

代入方程式 (13) 、(14) ,

 

对于   积分,可以得到生成函数  

 

最后,检查答案是否正确:

 

参阅

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参考文献

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