覆蓋 (拓撲學)

拓扑学

數學中,若 是一個集合 聯集子集,則集合 集合 覆蓋。用符號來說,如果 的子集索引族,則 是如下條件下的覆蓋(定義可參見: Gamelin 與 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁)

更一般的說,如果 的子集,而 的子集 搜集,它的聯集包含 ,則 被稱為是 的覆蓋。也就是 的覆蓋如果

拓撲學中覆蓋

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覆蓋通常用在拓撲學的上下文中。如果集合  拓撲空間,我們稱  開覆蓋,如果它的每個成員都是開集(就是說每個   都包含在   中,這裡的    上的拓撲)。

如果    的覆蓋,則  子覆蓋  的仍覆蓋   的子集。

  的開覆蓋被稱為是局部有限的,如果對任意   的點  都存在一個鄰域,其只與這個覆蓋中有限多個集合有交集。用符號來說,  是局部有限的,如果對於任何  ,存在某個   的鄰域   使得集合

 

是有限的。

精細

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  的覆蓋  精細(或稱加細)是   的新覆蓋   ,使得在   中的任意的一個集合,都包含在   的某個集合中。

用符號來說,有 覆蓋    ,如果對任意的   ,都存在某個   使得  ,我們則說   是覆蓋   的精細。

所有子覆蓋也是精細,反之不然。但是注意一般的說精細將比原始覆蓋有更多的集合。

緊緻性

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覆蓋的這個詞語經常用來定義與緊緻性有關的拓撲性質。一個拓撲空間 X 被稱為

  • 緊緻的,如果所有開覆蓋有有限子覆蓋。
  • 林德勒夫的,如果所有開覆蓋都有可數子覆蓋。
  • 元緊緻的,如果所有開覆蓋都有一個點有有限開精細。
  • 仿緊緻的,如果所有開覆蓋允許局部有限、精細。

引用

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  1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 (英語). 
  2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 (英語).