覆盖 (拓扑学)

拓扑学

数学中,若 是一个集合 并集子集,则集合 集合 覆盖。用符号来说,如果 的子集索引族,则 是如下条件下的覆盖(定义可参见: Gamelin 与 Greene 第19页或 Kelly 第49页)

更一般的说,如果 的子集,而 的子集 搜集,它的并集包含 ,则 被称为是 的覆盖。也就是 的覆盖如果

拓扑学中覆盖

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覆盖通常用在拓扑学的上下文中。如果集合  拓扑空间,我们称  开覆盖,如果它的每个成员都是开集(就是说每个   都包含在   中,这里的    上的拓扑)。

如果    的覆盖,则  子覆盖  的仍覆盖   的子集。

  的开覆盖被称为是局部有限的,如果对任意   的点  都存在一个邻域,其只与这个覆盖中有限多个集合有交集。用符号来说,  是局部有限的,如果对于任何  ,存在某个   的邻域   使得集合

 

是有限的。

精细

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  的覆盖  精细(或称加细)是   的新覆盖   ,使得在   中的任意的一个集合,都包含在   的某个集合中。

用符号来说,有 覆盖    ,如果对任意的   ,都存在某个   使得  ,我们则说   是覆盖   的精细。

所有子覆盖也是精细,反之不然。但是注意一般的说精细将比原始覆盖有更多的集合。

紧致性

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覆盖的这个词语经常用来定义与紧致性有关的拓扑性质。一个拓扑空间 X 被称为

  • 紧致的,如果所有开覆盖有有限子覆盖。
  • 林德勒夫的,如果所有开覆盖都有可数子覆盖。
  • 元紧致的,如果所有开覆盖都有一个点有有限开精细。
  • 仿紧致的,如果所有开覆盖允许局部有限、精细。

引用

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  1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 (英语). 
  2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 (英语).