e的π次方

數學常數

又称格尔丰德常数(英语:Gelfond's constant)是一个数学常数。与eπ一样,它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明,并注意到:

e的π次方
e的π次方
命名
名称格尔丰德常数
识别
种类无理数
超越数
符号
位数数列编号OEISA039661
性质
连分数[23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108 ...]
以此为的多项式或函数
表示方式
23.140692632779269



二进制10111.001001000000010001101110
十进制23.140692632779269005729086
十六进制17.24046EB093399ECDA7489F9A

其中i虚数单位。由于i代数数,但肯定不是有理数,因此eπ是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是,又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值也是无理数[1]

数值

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十进制中,eπ大约为

 

它的值可以用以下迭代来求出。定义

 

其中 

 

迅速收敛于 

几何中的独特之处

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n维球体的体积由以下公式给出:

 

所以,任何一个偶数维的单位球具有体积:

 

把所有偶数维的单位球的体积加起来,得出:[2]

 

相似或相关的常数

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拉马努金常数

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即所谓的拉马努金常数,是黑格纳数的一个应用,其中 的 163 是问题中用到的黑格纳数。

eπ - π 一样,eπ163 非常接近整数

  262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129...  

虽然这个数是由法国数学家夏尔·埃尔米特在 1859 年所发现,但印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一个预测它非常接近整数,因而以他为名。

这种非常近似于 6403203 + 744 的巧合,可以用 j-invariant英语j-invariant复数乘法英语complex multiplicationq展开来表示。

 

 

O(e-π163) 是误差项。

 

这解释了为何 eπ1636403203 + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。(这个证明的细节,可以参考黑格纳数)。

eπ - π

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A018938 所给出 eπ - π 的十进制表示为

  19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...

尽管这个数非常接近正整数 20 ,但目前没有关于这个现象的解释;因此,被认为是一种数学巧合

πe

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A059850 给出的 πe 十进制表示为:

  22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...

目前还不知此数是否是超越数。


须注意的是,根据 格尔丰德-施奈德定理,只有在 a 是代数数,而 b 是非有理数(ab 都是复数,且 a ≠ 0, a ≠ 1)的情况下,ab 才为超越数。

之所以可以证明 eπ 是超越数,其原因在于复数的指数形式,因为 π 可以被视为复数 eπ 的模,而根据 (-1)-i 的等式,才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。

πe 则没有如此的等式,所以,尽管 πe 都是超越数,但我们不能由此说 πe 是超越数。

eπ - πe

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如同 πe,我们仍不知 eπ - πe 是否是超越性质的。甚至,目前还没有证明说它是无理数:

A059850 给出的 eπ - πe 十进制表示为:

  0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...

ii

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 A059850给出的 ii 十进制表示为:

  0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...

因为上述等式,可用格尔丰德-施奈德定理证明格尔丰德常数的平方根倒数也是超越的:

i 是代数数,但同时不是有理数,由此ii 是超越数。

参见

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参考文献

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  1. ^ Nesterenko, Y. Modular Functions and Transcendence Problems. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914. 
  2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame

外部链接

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