趣味數學中,接近整数是指很接近整數無理數。這類數字中,有些因為其數學上的特性使其接近整数,有些還找不到其特性,看起來似乎只是巧合

Ed Pegg jr.先生發現上圖中的線段d長度為,非常接近7(數值為7.0000000857)[1]

有關黃金比例及其他皮索特-维贾亚拉加文数

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黃金比例 的高次方符合此特性。例如

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其中 代表費波納契數列的第 

這是因為有恆等式 [註 1],所以當 為足夠大的正整數時,

 

這些數字接近整數的原因和黃金比例的特性有關,不是數學巧合。其原因是因為黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数,而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方會是接近整數。

這些數字與費波納契數有密切的關係,因為費波納契數相鄰兩項的比值會趨近於黃金比例,而如果m整除n,則第m個費波納契數也會整除第n個費波納契數。

皮索特-维贾亚拉加文数是指代數數本身大於1,而且其極小多項式中另一根的絕對值小於1。像黃金比例本身大於1, 的最小多項式為  

另一根為  

絕對值小於1,因此黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数,其高次方會是接近整数。

依照根和系数的关系,可得知

 

 

 可以用  來表示,由於二根之和及二根之積均為整數,計算所得的結果也是一個正整數,假設為一正整數K,則 可以用下式表示

 

由於 的絕對值小於1,在n增大時,其高次方會趨於0,此時可得

 

除了黃金比例外,其他皮索特-维贾亚拉加文数的無理數也符合此一條件,例如 

有關黑格納數

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以下也是幾個非巧合出現的接近整數,和最大三項的黑格納數有關:

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以上三式可以用以下的式子表示[2]:

 
 
 

其中:  由於艾森斯坦級數的關係,使得上式中出現平方項。常數 有時會稱為拉馬努金常數

有關π及e

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許多有關πe的常數也是接近整數,例如

 

以及

 

格尔丰德常数 )接近 ,至2011年為止還沒找到出現此特性的原因[1],因此只能視為一數學巧合。另一個有關格尔丰德常数的常數也是接近整數  

以下也是一些接近整數的例子

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其他例子

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  ,其中 辛钦常数
 


 


 
 


 
 


 
 ,這是由於 的緣故,另一個類似的例子為 
 

外部連結

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註釋

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  1. ^ 此式可利用數學歸納法與性質 證明。

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 Eric Weisstein, "Almost Integer"页面存档备份,存于互联网档案馆) at MathWorld
  2. ^ 存档副本. [2011-09-17]. (原始内容存档于2009-08-11).