数列极限

序列的項“趨向於”何值

数列极限(英语:limit of a sequence)为某些数列才拥有的特殊值,当数列的下标越来越大的时候,数列的值也就越接近那个特殊值。

定义

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极限的定义 — 取一复数数列  ,若有一复数   ,使得

“对于任意的正实数  ,存在自然数   ,使得任意的自然数  ,只要  ,则  

正式的逻辑语言来表示即

 

则称数列 收敛 (convergent to   ),并记作

 

如果不存在这样的复数  ,则称  发散的(divergent)。

实数数列的极限

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从上面的定义可以证明,对实数数列   来说,若

 

则其极限   一定为实数 ,因为假设   的虚部   的话,则对极限定义取   的话,会存在   ,使得任意的  ,只要  

 

这是矛盾的,所以根据反证法  ,即  

基本性质

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唯一性

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定理 — 若数列   的极限存在,则极限是唯一的。[1]:29

证明

设数列   有两个不相等的极限值 ,则根据假设,对任意的   ,存在  ,使任意  ,只要   就有

 
 

这样根据三角不等式,对任意的   , 只要自然数   就有则

 

这样的话,假设   会得到

 

这样是矛盾的,故根据反证法  ,也就是  ,故极限唯一。 

有界性

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定理 — 若数列 有极限,则存在正实数   ,使得对所有的自然数   都有  [1]:29-30

(即   有极限则必为有界数列)

证明

因为 有极限,假设有实数   满足

 

这样的话,对于   ,存在自然数  ,使得任意的自然数  ,只要  ,则

 

从而

 

这样的话,令

 

就会有

 

故得证。 

根据实质条件的意义,上面的定理等价于“如果一个实数数列无界,则这个实数数列一定发散。”[1]:30

注意有界数列不一定有极限,如数列   是一个有界数列,但没有极限。

但是当数列有界,存在一个递增或是递减的子数列的话,则可以证明,数列存在极限。

保序性

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定理 — 有实数数列    ,若

 
 

则“  ”等价于“存在  使任何   只要   就有  ”。[1]:30

证明

左至右

 ,则由前提假设,存在   使任何   只要   就有

 
 

从而

 

 

这样取   ,左至右就得证。 

右至左

由前提假设,对任意的   ,存在   使任何   只要   就有

 
 
 

从而

 

故得证。 

  ,则

  1.  
  2.  
  3.  ,则 .

审敛法

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其中一个判断数列是否收敛的定理,称为单调收敛定理,和实数完备性相关:单调有界数列必收敛,即是说,有上界的单调递增数列,或是有下界的单调递减数列,必然收敛。

柯西数列

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参考文献列表

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

参看

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