數列極限

序列的項“趨向於”何值

數列極限(英語:limit of a sequence)為某些數列才擁有的特殊值,當數列的下標越來越大的時候,數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

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極限的定義 — 取一複數數列  ,若有一複數   ,使得

「對於任意的正實數  ,存在自然數   ,使得任意的自然數  ,只要  ,則  

正式的邏輯語言來表示即

 

則稱數列 收斂 (convergent to   ),並記作

 

如果不存在這樣的複數  ,則稱  發散的(divergent)。

實數數列的極限

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從上面的定義可以證明,對實數數列   來說,若

 

則其極限   一定為實數 ,因為假設   的虛部   的話,則對極限定義取   的話,會存在   ,使得任意的  ,只要  

 

這是矛盾的,所以根據反證法  ,即  

基本性質

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唯一性

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定理 — 若數列   的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29

證明

設數列   有兩個不相等的極限值 ,則根據假設,對任意的   ,存在  ,使任意  ,只要   就有

 
 

這樣根據三角不等式,對任意的   , 只要自然數   就有則

 

這樣的話,假設   會得到

 

這樣是矛盾的,故根據反證法  ,也就是  ,故極限唯一。 

有界性

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定理 — 若數列 有極限,則存在正實數   ,使得對所有的自然數   都有  [1]:29-30

(即   有極限則必為有界數列)

證明

因為 有極限,假設有實數   滿足

 

這樣的話,對於   ,存在自然數  ,使得任意的自然數  ,只要  ,則

 

從而

 

這樣的話,令

 

就會有

 

故得証。 

根據實質條件的意義,上面的定理等價於「如果一個實數數列無界,則這個實數數列一定發散。」[1]:30

注意有界數列不一定有極限,如數列   是一個有界數列,但沒有極限。

但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。

保序性

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定理 — 有實數數列    ,若

 
 

則「  」等價於「存在  使任何   只要   就有  」。[1]:30

證明

左至右

 ,則由前提假設,存在   使任何   只要   就有

 
 

從而

 

 

這樣取   ,左至右就得證。 

右至左

由前提假設,對任意的   ,存在   使任何   只要   就有

 
 
 

從而

 

故得證。 

  ,則

  1.  
  2.  
  3.  ,則 .

審斂法

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其中一個判斷數列是否收斂的定理,稱為單調收斂定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。

柯西數列

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參考文獻列表

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 華東師範大學數學系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

參看

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