微积分学中,cis函数又称纯虚数指数函数,是复变函数的一种,和三角函数类似,其可以使用正弦函数余弦函数来定义,是一种实变数复数值函数英语Complex-valued function,其中虚数单位,而cis则为cos + i sin的缩写。

cis函数示意图
一个可以代表cis函数的图形,蓝色是实数部、橘色是虚数
cis函数
性质
奇偶性 N/A
定义域 (-∞,∞)
到达域
周期
特定值
当x=0 1
当x=+∞ N/A
当x=-∞ N/A
最大值 复数无法比大小
最小值 复数无法比大小
其他性质
渐近线 N/A
N/A
临界点 N/A
拐点
不动点 0
k是一个整数.

概观

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cis函数是欧拉公式等号右侧的所形的组合函数简写:

 

其中i表示虚数单位 。因此

 [1][2][3]

cis符号最早由威廉·哈密顿在他于1866出版的《Elements of Quaternions》中使用[4],而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 [5][6] 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符号 [6][7] ,其利用欧拉公式将三角函数与复平面的指数函数连结起来。

cis函数主要的功能为简化某些数学表达式,透过cis函数可以使部分数学式能更简便地表达[4][5][8],例如傅里叶变换和哈特利变换的结合[9][10][11],以及应用在教学上时,因某些因素(如课程安排或课纲需求)因故不能使用指数来表达数学式时,cis函数就能派上用场。

性质

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cis函数的定义域是整个实数集值域单位复数绝对值1复数。它是周期函数,其最小正周期为 。其图像关于原点对称。

上述文字称它以类似三角函数的形式来定义函数的原因是,就如同三角函数,他也算是一种比值复数和其模的比值:

 ,其中 辐角 复数

因此,当一复数的模为1,其反函数就是辐角arg函数)。

 函数可视为求单位复数的函数。

 函数的实数部分和余弦函数相同。

 
cis函数 定义在复数。图中,颜色代表辐角,高代表模

微分

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 [1][12]

积分

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 [1]

其他性质

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根据欧拉公式,cis函数有以下性质:

 [13]
 

上述性质是当  都是复数时成立。在  都是实数时,有以下不等式:

 [13]

命名

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由于 函数的值为“余弦加上虚数单位倍的正弦”,取其英文缩写cosine and imaginary unit sine,故以 来表示该函数。

欧拉公式

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在数学上,为了简化欧拉公式 ,因此将欧拉公式以类似三角函数的形式来定义函数,给出了cis函数的定义[1][9][8][2][14][10][11][15]

 

并且一般定义域 ,值域为 

 值为复数时, 函数仍然是有效的,因此可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。[16]

棣莫弗公式

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在数学上,为了方便起见,可以将棣莫弗公式写成以下形式:

 

指数定义

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跟其他三角函数类似,可以用e指数来表示,依照欧拉公式给出:  

反函数

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 的反函数: ,当代入模为1的复数时,所得的值是其辐角

类似其他三角函数, 的反函数也可以用自然对数来表示

 

当一复数经过符号函数后代入 可得辐角。

恒等式

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 函数的倍角公式似乎比三角函数简单许多

半形公式

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倍角公式

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幂简约公式

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相关函数

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余cis函数

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cocis函数,正好跟cis上下颠倒,周期相同,但是位移了 

就如同三角函数,我们可以令: ,其可用于诱导公式来化简某些特定的 函数的式子。

至于指数定义,经过正弦和余弦的指数定义得:

 

有恒等式:

 
 
 
 
 
 
 
 

双曲cis函数

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cish函数( )在几何意义上与cis函数对应的双曲函数不同。在双曲几何中,与欧几里得几何对应cis函数应为:

 

然而当中的 若定义为负一的平方根,则其会变为[17]

 
双曲复数

在一般的情况下,cis函数对应的双曲函数定义域值域皆为实数,但若定义双曲复数,考虑数 ,其中 实数,而量 不是实数,但 是实数。选取 ,得到一般复数。取 的话,便得到双曲复数。

双曲复数有对应的欧拉公式: 

 

其中j为双曲复数

因此双曲cis函数得到的值为双曲复数,相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角

如此一来,值域将会变成分裂四元数

cas函数

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cas函数是一个以类似cis函数的概念定义的一个函数,为雷夫·赫特利英语Ralph Hartley于1942提出,其定义为 ,是一种实变数实值函数,而cas为“cosine-and-sine”的缩写,其表示了实数值的赫特利变换英语Hartley transform[18][19]

 

cas函数存在一些恒等式:

 

角和公式:

 

微分:

 

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Weisstein, Eric W. (编). Cis. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-09]. (原始内容存档于2016-01-27) (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Simmons, Bruce. Cis. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2014-07-28 [2004] [2016-01-15]. (原始内容存档于2016-01-19). 
  3. ^ Rationale for International Standard - Programming Languages - C (PDF). 5.10: 114, 117, 183, 186–187. April 2003 [2010-10-17]. (原始内容存档 (PDF)于2016-06-06). 
  4. ^ 4.0 4.1 Hamilton, William Rowan. II. Fractional powers, General roots of unity. 写于Dublin. Hamilton, William Edwin (编). Elements of Quaternions. University Press, Michael Henry Gill, Dublin (printer) 1. London, UK: Longmans, Green & Co. 1866-01-01: 250–257, 260, 262–263 [2016-01-17]. […] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]  ([1], [2])
  5. ^ 5.0 5.1 Stringham, Irving. Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis 1. C. A. Mordock & Co. (printer) 1. San Francisco, US: The Berkeley Press. 1893-07-01: 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 [1891] [2016-01-18]. As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ. 
  6. ^ 6.0 6.1 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations 2 2 (3rd corrected printing of 1929 issue). Chicago, US: Open court publishing company. 1952: 133 [March 1929] [2016-01-18]. ISBN 978-1-60206-714-1. ISBN 1-60206-714-7. Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley.  (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.)
  7. ^ Harkness, James; Morley, Frank. Introduction to the Theory of Analytic Functions 1. London, UK: Macmillan and Company. 1898: 18, 22, 48, 52, 170 [2016-01-18]. ISBN 978-1-16407019-1. ISBN 1-16407019-3.  (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
  8. ^ 8.0 8.1 Swokowski, Earl; Cole, Jeffery. Precalculus: Functions and Graphs. Precalculus Series 12 (Cengage Learning). 2011 [2016-01-18]. ISBN 978-0-84006857-6. ISBN 0-84006857-3. 
  9. ^ 9.0 9.1 L.-Rundblad, Ekaterina; Maidan, Alexei; Novak, Peter; Labunets, Valeriy. Fast Color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus Transforms for Image Processing. 写于Prometheus Inc., Newport, USA. Byrnes, Jim (编). Computational Noncommutative Algebra and Applications (PDF). NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry (NAII) 136. Dordrecht, Netherlands: Springer Science + Business Media, Inc. 2004: 401-411 [2017-10-28]. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN 1568-2609. doi:10.1007/1-4020-2307-3. (原始内容存档 (PDF)于2017-10-28). 
  10. ^ 10.0 10.1 Kammler, David W. A First Course in Fourier Analysis 2. Cambridge University Press. 2008-01-17 [2017-10-28]. ISBN 978-1-13946903-6. ISBN 1-13946903-7. (原始内容存档于2018-10-17). 
  11. ^ 11.0 11.1 Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. The Fractional Trigonometry: With Applications to Fractional Differential Equations and Science. John Wiley & Sons. 2016-11-14 [2017-10-28]. ISBN 978-1-11913942-3. ISBN 1-11913942-2. (原始内容存档于2018-10-17). 
  12. ^ Fuchs, Martin. Chapter 11: Differenzierbarkeit von Funktionen. Analysis I (PDF) WS 2011/2012. Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Germany´. 2011: 3, 13 [2016-01-15]. (原始内容 (PDF)存档于2021-07-10) (德语). 
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  16. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X. 
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  19. ^ Bracewell, Ronald N. The Fourier Transform and Its Applications 3. McGraw-Hill. June 1999 [1985, 1978, 1965]. ISBN 978-0-07303938-1.