微積分學中,cis函數又稱純虛數指數函數,是複變函數的一種,和三角函數類似,其可以使用正弦函數餘弦函數來定義,是一種實變數複數值函數英語Complex-valued function,其中虛數單位,而cis則為cos + i sin的縮寫。

cis函數示意圖
一個可以代表cis函數的圖形,藍色是實數部、橘色是虛數
cis函數
性質
奇偶性 N/A
定義域 (-∞,∞)
到達域
周期
特定值
當x=0 1
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值 複數無法比大小
最小值 複數無法比大小
其他性質
漸近線 N/A
N/A
臨界點 N/A
拐點
不動點 0
k是一個整數.

概觀

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cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫:

 

其中i表示虛數單位 。因此

 [1][2][3]

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用[4],而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 [5][6] 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 [6][7] ,其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式,透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達[4][5][8],例如傅里葉變換和哈特利變換的結合[9][10][11],以及應用在教學上時,因某些因素(如課程安排或課綱需求)因故不能使用指數來表達數學式時,cis函數就能派上用場。

性質

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cis函數的定義域是整個實數集值域單位複數絕對值1複數。它是周期函數,其最小正周期為 。其圖像關於原點對稱。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是,就如同三角函數,他也算是一種比值複數和其模的比值:

 ,其中 輻角 複數

因此,當一複數的模為1,其反函數就是輻角arg函數)。

 函數可視為求單位複數的函數。

 函數的實數部分和餘弦函數相同。

 
cis函數 定義在複數。圖中,顏色代表輻角,高代表模

微分

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 [1][12]

積分

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 [1]

其他性質

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根據歐拉公式,cis函數有以下性質:

 [13]
 

上述性質是當  都是複數時成立。在  都是實數時,有以下不等式:

 [13]

命名

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由於 函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」,取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine,故以 來表示該函數。

歐拉公式

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在數學上,為了簡化歐拉公式 ,因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數,給出了cis函數的定義[1][9][8][2][14][10][11][15]

 

並且一般定義域 ,值域為 

 值為複數時, 函數仍然是有效的,因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。[16]

棣莫弗公式

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在數學上,為了方便起見,可以將棣莫弗公式寫成以下形式:

 

指數定義

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跟其他三角函數類似,可以用e指數來表示,依照歐拉公式給出:  

反函數

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 的反函數: ,當代入模為1的複數時,所得的值是其輻角

類似其他三角函數, 的反函數也可以用自然對數來表示

 

當一複數經過符號函數後代入 可得輻角。

恆等式

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 函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

半形公式

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倍角公式

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冪簡約公式

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相關函數

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餘cis函數

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cocis函數,正好跟cis上下顛倒,周期相同,但是位移了 

就如同三角函數,我們可以令: ,其可用於誘導公式來化簡某些特定的 函數的式子。

至於指數定義,經過正弦和餘弦的指數定義得:

 

有恆等式:

 
 
 
 
 
 
 
 

雙曲cis函數

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cish函數( )在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中,與歐幾里得幾何對應cis函數應為:

 

然而當中的 若定義為負一的平方根,則其會變為[17]

 
雙曲複數

在一般的情況下,cis函數對應的雙曲函數定義域值域皆為實數,但若定義雙曲複數,考慮數 ,其中 實數,而量 不是實數,但 是實數。選取 ,得到一般複數。取 的話,便得到雙曲複數。

雙曲複數有對應的歐拉公式: 

 

其中j為雙曲複數

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數,相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角

如此一來,值域將會變成分裂四元數

cas函數

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cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數,為雷夫·赫特利英語Ralph Hartley於1942提出,其定義為 ,是一種實變數實值函數,而cas為「cosine-and-sine」的縮寫,其表示了實數值的赫特利變換英語Hartley transform[18][19]

 

cas函數存在一些恆等式:

 

角和公式:

 

微分:

 

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Weisstein, Eric W. (編). Cis. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-09]. (原始內容存檔於2016-01-27) (英語). 
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  4. ^ 4.0 4.1 Hamilton, William Rowan. II. Fractional powers, General roots of unity. 寫於Dublin. Hamilton, William Edwin (編). Elements of Quaternions. University Press, Michael Henry Gill, Dublin (printer) 1. London, UK: Longmans, Green & Co. 1866-01-01: 250–257, 260, 262–263 [2016-01-17]. […] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]  ([1], [2])
  5. ^ 5.0 5.1 Stringham, Irving. Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis 1. C. A. Mordock & Co. (printer) 1. San Francisco, US: The Berkeley Press. 1893-07-01: 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 [1891] [2016-01-18]. As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ. 
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  8. ^ 8.0 8.1 Swokowski, Earl; Cole, Jeffery. Precalculus: Functions and Graphs. Precalculus Series 12 (Cengage Learning). 2011 [2016-01-18]. ISBN 978-0-84006857-6. ISBN 0-84006857-3. 
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