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極化恆等式
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2013年8月16日
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極化恆等式
(
英語
:
Polarization identity
)是一個用
範數
來計算兩個
向量
的
內積
的公式。
公式
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設
x
,
y
{\displaystyle x,y}
是復
Hilbert空間
中的向量,則內積可表示為:
⟨
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
+
i
‖
x
+
i
y
‖
2
−
i
‖
x
−
i
y
‖
2
)
{\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}+i{{\left\|x+iy\right\|}^{2}}-i{{\left\|x-iy\right\|}^{2}}\right)}
。
若
x
,
y
{\displaystyle x,y}
是實Hilbert空間中的向量,則內積可表示為:
⟨
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
{\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)}
。
參見
編輯
平行四邊形恆等式
參考文獻
編輯
程其襄,張奠宙等.實變函數與泛函分析基礎(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.7,241