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极化恒等式
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2013年8月16日
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极化恒等式
(
英语
:
Polarization identity
)是一个用
范数
来计算两个
向量
的
内积
的公式。
公式
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设
x
,
y
{\displaystyle x,y}
是复
Hilbert空间
中的向量,则内积可表示为:
⟨
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
+
i
‖
x
+
i
y
‖
2
−
i
‖
x
−
i
y
‖
2
)
{\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}+i{{\left\|x+iy\right\|}^{2}}-i{{\left\|x-iy\right\|}^{2}}\right)}
。
若
x
,
y
{\displaystyle x,y}
是实Hilbert空间中的向量,则内积可表示为:
⟨
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
{\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)}
。
参见
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平行四边形恒等式
参考文献
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程其襄,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.7,241