指標的上升和下降

數學數學物理中,給定流形 M 上一個張量,若在 M 已有一個非退化形式(比如黎曼度量閔可夫斯基度量),我們可將指標上升或下降:將一個 張量變成一個 張量(上升)或一個 張量(下降)。 這裡記號 用於表示張量的秩 ,有 個上指標和 個下指標。

可以這樣做:將張量乘以共變或反變度量張量,然後做縮並。下文在對重複指標 求和時使用愛因斯坦記號

乘以反變度量張量(然後縮並)上升指標:

而乘以共變度量張量(然後縮並)下降指標:

對同一個指標先上升然後下降(或順序相反)得到原來的張量,這反應了共變度量張量與反變度量張量互逆:

這裡 N 是流形的維數。注意下降一個指標不要求形式非奇異,但相反的過程需要非奇異條件。

廣義相對論中的例子

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閔可夫斯基空間具有度量張量

 

共變電磁張量由下式給出

 
注意:一些教材,比如 Griffiths[1],可能有一個因子 -1。這是因為他們使用了度量張量與此處差一個符號,參見度量符號。老教材比如 Jackson 2ed 沒有因子 c;他們使用高斯單位,這裡使用國際單位制

為了得到共變張量  ,我們用

 

注意因為   是對角的,上式中許多項其實沒有:

 

對指標 1、2、3 使用拉丁字母:

 

因為度量張量中的因子都是 -1。

 
 

類似

 

將它們放在一起,我們得到:

 

參考文獻

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