在数学与数学物理中,给定流形 M 上一个张量,若在 M 已有一个非退化形式(比如黎曼度量或闵可夫斯基度量),我们可将指标上升或下降:将一个
张量变成一个
张量(上升)或一个
张量(下降)。 这里记号
用于表示张量的秩
,有
个上指标和
个下指标。
可以这样做:将张量乘以共变或反变度量张量,然后做缩并。下文在对重复指标
求和时使用爱因斯坦记号。
乘以反变度量张量(然后缩并)上升指标:
![{\displaystyle g^{ij}A_{j}=A^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5b2532c4f30e47590034a9c82936078cbda6b1)
而乘以共变度量张量(然后缩并)下降指标:
![{\displaystyle g_{ij}A^{j}=A_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7578987ce8cf5e6332c838abe77c6bfaa2266ceb)
对同一个指标先上升然后下降(或顺序相反)得到原来的张量,这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆:
![{\displaystyle g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Trg=N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f970a8224e9da55d619665c3b578502ec32c0ef4)
这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异,但相反的过程需要非奇异条件。
闵可夫斯基空间具有度量张量
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共变电磁张量由下式给出
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- 注意:一些教材,比如 Griffiths[1],可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号,参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c;他们使用高斯单位,这里使用国际单位制。
为了得到共变张量 ,我们用
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注意因为 是对角的,上式中许多项其实没有:
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对指标 1、2、3 使用拉丁字母:
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因为度量张量中的因子都是 -1。
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类似
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将它们放在一起,我们得到:
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