抽象代数中,一个系数多项式分裂域根域)是的“最小”的一个扩域,使得在其中可以被分解为一次因式的乘积,其中的中元素。一个上的多项式并不一定只有一个分裂域,但它所有的分裂域都是同构的:在同构意义上,上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义

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称一个系数 的多项式   的某个扩域 分裂当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解(分裂)成最简单的一次因式的乘积:

 

其中的  。换句话来说, 都在 中。

使得 在其中分裂的扩域 有很多,譬如对于某个使得 分裂的的 ,它任意的扩域 也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域,是指这样的一个扩域 

  1.  里, ,可以分解为一次因式的乘积;
  2.  的任何真子域(不等于自身)里, 都无法如此分解。这样的扩域称为  上的分裂域

例子

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如果 有理数域 ,多项式为

 

那么其分裂域 可以是在 中添加三次单位根 和2的立方根而得到的扩域: 。因为这时 可以写作:

 

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:

  • 多项式 实数域 R上的分裂域是复数域 C
  • 多项式 准有限域 GF7上的分裂域是GF72.

多项式 准有限域 GF7上的分裂域是GF7,因为在其上 已经分解完毕。

性质

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给定多项式 ,在  上的分裂域 ,假设在  ,分解为

 

那么 

对于域 的一个代数闭域扩域  上的一个多项式 ,存在  上的唯一的一个分裂域 ,使得 

对于 的一个可分扩张  伽罗瓦闭包是一个分裂域,也是 的包含 的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了 中任意元素 ,在 上的极小多项式 上的分裂域。

参见

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参考来源

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外部链接

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