抽象代數中,一個係數多項式分裂域根域)是的「最小」的一個擴域,使得在其中可以被分解為一次因式的乘積,其中的中元素。一個上的多項式並不一定只有一個分裂域,但它所有的分裂域都是同構的:在同構意義上,上的多項式的分裂域是唯一的。

術語與定義

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稱一個係數 的多項式   的某個擴域 分裂當且僅當這個多項式可以用這個域中的元素來分解(分裂)成最簡單的一次因式的乘積:

 

其中的  。換句話來說, 都在 中。

使得 在其中分裂的擴域 有很多,譬如對於某個使得 分裂的的 ,它任意的擴域 也都滿足。然而其中「最小」的域在同構意義上是唯一的。所謂的「最小」域,是指這樣的一個擴域 

  1.  里, ,可以分解為一次因式的乘積;
  2.  的任何真子域(不等於自身)里, 都無法如此分解。這樣的擴域稱為  上的分裂域

例子

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如果 有理數域 ,多項式為

 

那麼其分裂域 可以是在 中添加三次單位根 和2的立方根而得到的擴域: 。因為這時 可以寫作:

 

同一個多項式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:

  • 多項式 實數域 R上的分裂域是複數域 C
  • 多項式 准有限域 GF7上的分裂域是GF72.

多項式 准有限域 GF7上的分裂域是GF7,因為在其上 已經分解完畢。

性質

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給定多項式 ,在  上的分裂域 ,假設在  ,分解為

 

那麼 

對於域 的一個代數閉域擴域  上的一個多項式 ,存在  上的唯一的一個分裂域 ,使得 

對於 的一個可分擴張  伽羅瓦閉包是一個分裂域,也是 的包含 的一個「最小」的伽羅瓦擴張。這樣的一個伽羅瓦閉包包含了 中任意元素 ,在 上的極小多項式 上的分裂域。

參見

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參考來源

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外部連結

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