广义矩估计

广义矩估计（英语：Generalized method of moments，缩写为GMM）是统计学和计量经济学中常用的一种半参数估计方法，拉尔斯·彼得·汉森1982年根据卡尔·皮尔逊 1894年发明的矩估计发展而来。发明广义矩估计是汉森2013年获得诺贝尔经济学奖的原因之一。

广义矩估计的产生主要使用时机是最小二乘法的严格假设条件不成立时（例：解释变数与误差项有相关性），并且不知道资料的概率分布，以致不能使用最大似然估计时，广义矩估计的宽松假设使得它在计量经济学中得到广泛应用。

广义矩估计具有一致性、渐近正态分布，有效率等性质。

估计方法描述

假设有$n$个来自某统计模型的观测值$\{z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}\}$，并且已知下列$q$个矩（moment）条件成立，

$${\begin{aligned}E(m_{1}(z_{i},\theta ))&=0\\\vdots \\E(m_{q}(z_{i},\theta ))&=0.\end{aligned}}$$

其中，$\theta$是一个关于该统计模型的$p$维未知参数。另外，定义$m(z_{i},\theta )=(m_{1}(z_{i},\theta ),\dots ,m_{q}(z_{i},\theta ))\prime$成关于$\theta$的$q$维矩函数。所以，有条件

$$E(m(z_{i},\theta ))=0.$$

给定一个$q\times q$的权重矩阵$W$，自然有

$$E\left(m(z_{i},\theta )\prime Wm(z_{i},\theta )\right)=0.$$

由此，关于未知参数$\theta$的广义矩估计量${\hat {\theta }}$是

$${\hat {\theta }}=\arg \min _{\theta \in \Theta }\sum _{i=1}^{n}m(z_{i},\theta )\prime Wm(z_{i},\theta ).$$

其中，$\Theta$是参数$\theta$的取值空间。