廣義動差估計

廣義動差估計（英語：Generalized method of moments，縮寫為GMM）是統計學和計量經濟學中常用的一種半參數估計方法，拉爾斯·彼得·漢森1982年根據卡爾·皮爾森 1894年發明的動差估計發展而來。發明廣義動差估計是漢森2013年獲得諾貝爾經濟學獎的原因之一。

廣義動差估計的產生主要使用時機是最小平方法的嚴格假設條件不成立時（例：解釋變量與誤差項有相關性），並且不知道資料的概率分佈，以致不能使用最大似然估計時，廣義動差估計的寬鬆假設使得它在計量經濟學中得到廣泛應用。

廣義動差估計具有一致性、漸近正態分佈，有效率等性質。

估計方法描述

假設有$n$個來自某統計模型的觀測值$\{z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}\}$，並且已知下列$q$個動差（moment）條件成立，

$${\begin{aligned}E(m_{1}(z_{i},\theta ))&=0\\\vdots \\E(m_{q}(z_{i},\theta ))&=0.\end{aligned}}$$

其中，$\theta$是一個關於該統計模型的$p$維未知參數。另外，定義$m(z_{i},\theta )=(m_{1}(z_{i},\theta ),\dots ,m_{q}(z_{i},\theta ))\prime$成關於$\theta$的$q$維動差函數。所以，有條件

$$E(m(z_{i},\theta ))=0.$$

給定一個$q\times q$的權重動差陣$W$，自然有

$$E\left(m(z_{i},\theta )\prime Wm(z_{i},\theta )\right)=0.$$

由此，關於未知參數$\theta$的廣義動差估計量${\hat {\theta }}$是

$${\hat {\theta }}=\arg \min _{\theta \in \Theta }\sum _{i=1}^{n}m(z_{i},\theta )\prime Wm(z_{i},\theta ).$$

其中，$\Theta$是參數$\theta$的取值空間。