同构基本定理

同构基本定理,或称同态基本定理同型定理(英语:Isomorphism theorems),包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史

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同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同构基本定理

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群论中的同构基本定理形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同构第一定理

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给定一个群同态  ,根据群同态第一基本定理,我们可以把 除以 ,使  变成单射

直观来讲,把一个群 除以 子群 相当于把 里的元素看成0(一元素)。把 的核除掉后,我们使得 只在  时才会成立,这是 的单射性的等价叙述。

我们必须先确定商群具有群的结构,才可以对 进行讨论。


定理: 给定  两个群,和 群同态。则 是一个 正规子群


证明: 记    的运算符号,记  他们的单位元,我们可以验证  在共轭运算下封闭,即对于所有 、所有 ,有 

我们有 。由于  里面,即 ,我们推论 。因此,  里面,故  的正规子群。


  的正规子群的这个性质让我们可以在商群 上定义一个与 的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故,群同态 诱导出群同构 

我们有以下的定理:

群同构第一定理 给定  两个群, 群同态,则 诱导出一个从 打到 的群同构。


证明: 记  的核。我们定义  .

  • 函数 定义良好,即 只依赖于 而与代表 的选择无关。理由是,若  的一个代表,即若 ,则 ,所以 ,从而 
  • 由商群运算的定义, 是一个群同态。
  • 群同态 满射:对于所有 ,存在 使得 ,由此 
  • 群同态 单射。理由是:考虑 的核里的任意元素 ,则 ,即  的核 里面。又  的单位元。

这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合,以下为示意图

 
交换图

群同构第二定理

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群同构第二定理: 给定群   、其正规子群   、其子群   ,则    的正规子群,且我们有群同构如下:  

证明:

  • 必须先证明 确实是一个群,以及 限定在  中亦是一个正规子群,才能讨论商群  

    中的两个元素。我们有   ,其中  ,   (因为    中正规) 且  ,故    中,其证明了   在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及逆元的封闭性。

此外,我们有   的包含关系,并且    中正规,所以也在   中正规。

  • 为了建构群同构,我们将使用群同构第一定理。

 单射群同态,定义为   , 取标准满射   (值域是个群,因为    中正规)。借由复合两个群同态,我们建构出一个新的群同态   定义为  

  • 群同态   是满射。

理由是,设   ,其中    。由于    里面,   ,故 

  •   的核是  

理由是,    的单位元,即   当且仅当,    里面。由于   已经在   里面,所以证明这个相当于证明    里面。

  • 由群同构第一定理知    的正规子群,且其诱导出的映射   是群同构。


如果我们弱化前提,假设  正规化子包含   (把相等改成包含)这个定理依然正确。

群同构第三定理

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群同构第三定理: 给定群      的正规子群,满足   包含于   ,则    的正规子群,且有如下的群同构:  

证明:   为满射,其核为  

所以可由群同构第一定理得到  

环和模上的形式

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  • 将定理中的“群”换为“R-模”,将“正规子群”换为“子模”,就得到对于确定的环R上的的同构基本定理,(因此同构基本定理对于确定的上的向量空间也成立)对于向量空间,同构第一基本定理即是秩-零化度定理
  • 将定理中的“群”换为“环”,“子群”换为“子环”,“正规子群”换为“理想”,“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
  • 与子群的乘积HK相对应的定义是子模,子环,子空间的并,用H + K而不再用HK表示。具体的定义是:
 

推广

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在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

A是一个代数结构,A的一个同余类A上的一个等价关系 ,可看作是A × A上的子代数。等价类A/ 的集合在定义了适合的运算法则后,便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理

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AB是两个代数结构,fAB态射,则A等价关系 a~b当且仅当f(a)=f(b)A上的一个同余类,并且A/ 同构于f的像(B的子代数)。

第二同构定理

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BA的子代数, A上的同余类。令[B] 是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/ 的一个子集;  限制在 B × B上的部分。那么[B] A/ 的子代数结构, B上的同余类,并且[B] 同构于B/ 

第三同构定理

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A是一个代数结构,  A上的两个同余关系, 包含于 。则 定义了A/ 上的一个同余类 [a]~[b]当且仅当ab关于  同余([a]表示a所在的 -等价类),并且A/ 同构于(A/ )/