同構基本定理

同構基本定理,或稱同態基本定理同型定理(英語:Isomorphism theorems),包含三個定理,在泛代數領域有廣泛的應用。它們證明了一些自然同構的存在性。

歷史

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同構基本定理最早由埃米·諾特(Emmy Noether)在她於1927在德國數學期刊數學分析(Mathematische Annalen)發表的論文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明確闡述。

群同構基本定理

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群論中的同構基本定理形式相對簡單,卻表達了商群的重要性質。定理的敘述中用到了關於正規子群的等價類概念。

群同構第一定理

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給定一個群同態  ,根據群同態第一基本定理,我們可以把 除以 ,使  變成單射

直觀來講,把一個群 除以 子群 相當於把 裏的元素看成0(一元素)。把 的核除掉後,我們使得 只在  時才會成立,這是 的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構,才可以對 進行討論。


定理: 給定  兩個群,和 群同態。則 是一個 正規子群


證明: 記    的運算符號,記  他們的單位元素,我們可以驗證  在共軛運算下封閉,即對於所有 、所有 ,有 

我們有 。由於  裏面,即 ,我們推論 。因此,  裏面,故  的正規子群。


  的正規子群的這個性質讓我們可以在商群 上定義一個與 的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故,群同態 誘導出群同構 

我們有以下的定理:

群同構第一定理 給定  兩個群, 群同態,則 誘導出一個從 打到 的群同構。


證明: 記  的核。我們定義  .

  • 函數 定義良好,即 只依賴於 而與代表 的選擇無關。理由是,若  的一個代表,即若 ,則 ,所以 ,從而 
  • 由商群運算的定義, 是一個群同態。
  • 群同態 滿射:對於所有 ,存在 使得 ,由此 
  • 群同態 單射。理由是:考慮 的核裏的任意元素 ,則 ,即  的核 裏面。又  的單位元素。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合,以下為示意圖

 
交換圖

群同構第二定理

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群同構第二定理: 給定群   、其正規子群   、其子群   ,則    的正規子群,且我們有群同構如下:  

證明:

  • 必須先證明 確實是一個群,以及 限定在  中亦是一個正規子群,才能討論商群  

    中的兩個元素。我們有   ,其中  ,   (因為    中正規) 且  ,故    中,其證明了   在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外,我們有   的包含關係,並且    中正規,所以也在   中正規。

  • 為了建構群同構,我們將使用群同構第一定理。

 單射群同態,定義為   , 取標準滿射   (值域是個群,因為    中正規)。藉由複合兩個群同態,我們建構出一個新的群同態   定義為  

  • 群同態   是滿射。

理由是,設   ,其中    。由於    裏面,   ,故 

  •   的核是  

理由是,    的單位元素,即   當且僅當,    裏面。由於   已經在   裏面,所以證明這個相當於證明    裏面。

  • 由群同構第一定理知    的正規子群,且其誘導出的映射   是群同構。


如果我們弱化前提,假設  正規化子包含   (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理

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群同構第三定理: 給定群      的正規子群,滿足   包含於   ,則    的正規子群,且有如下的群同構:  

證明:   為滿射,其核為  

所以可由群同構第一定理得到  

環和模上的形式

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  • 將定理中的「群」換為「R-模」,將「正規子群」換為「子模」,就得到對於確定的環R上的的同構基本定理,(因此同構基本定理對於確定的上的向量空間也成立)對於向量空間,同構第一基本定理即是秩-零化度定理
  • 將定理中的「群」換為「環」,「子群」換為「子環」,「正規子群」換為「理想」,「商群」換為「商環」就得到環的同構基本定理。
  • 與子群的乘積HK相對應的定義是子模,子環,子空間的並,用H + K而不再用HK表示。具體的定義是:
 

推廣

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在泛代數中,正規子群被推廣為更廣泛的共軛類的概念。

A是一個代數結構,A的一個同餘類A上的一個等價關係 ,可看作是A × A上的子代數。等價類A/ 的集合在定義了適合的運算法則後,便可成為與A同類型的代數結構。

第一同構定理

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AB是兩個代數結構,fAB態射,則A等價關係 a~b當且僅當f(a)=f(b)A上的一個同餘類,並且A/ 同構於f的像(B的子代數)。

第二同構定理

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BA的子代數, A上的同餘類。令[B] 是所有包含B種元素的同餘類的集合,它是A/ 的一個子集;  限制在 B × B上的部分。那麼[B] A/ 的子代數結構, B上的同餘類,並且[B] 同構於B/ 

第三同構定理

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A是一個代數結構,  A上的兩個同餘關係, 包含於 。則 定義了A/ 上的一個同餘類 [a]~[b]當且僅當ab關於  同餘([a]表示a所在的 -等價類),並且A/ 同構於(A/ )/