邦澤不等式(英語:Bonse's inequality)為數論中的不等式,得名自H·邦澤[1],有關質數階乘和未在其質因數分解中出現的最小質數之間的大小關係。

陳述

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  為最小的 質數,且 ,則有以下關係:

 

這不等式是伯特蘭-切比雪夫定理的一個結果:伯特蘭-切比雪夫定理指出, ,因此有 

數值驗證

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以下列出一些質數之間的關係,前四行不在邦澤不等式的範圍內

 
 
 
 

 
 
 

……

推廣

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邦澤不等式已為多名數學家推廣,以下是部分數學家對邦澤不等式的推廣。

Pósa的推廣

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Pósa在1960年證明了以下的陳述[2]

對於任意的 而言,有一個取決於 的正整數 ,使得下列關係對所有的 都成立:

 

Sándor的推廣

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Sándor在1988年證明了以下的陳述[3]

對於任意的 ,有以下關係:

 

其中 下取整函數

Panaitopol的推廣

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Panaitopol在2000年證明了以下的陳述[4]

對於任意的 ,有以下關係:

 

其中 質數計數函數

Hassani的推廣

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Hassani在2005年證明了以下的陳述:

對於任意的 ,有以下關係[5]

 

其中 質數計數函數

Ghosh的推廣

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Ghosh在2019年證明了以下的陳述[6]

對於任意的 ,有以下關係:

 

使用小o符號,則可表如下式:

 

其中 是第一切比雪夫函數 自然對數

參見

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腳註和出處

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  1. ^ Bonse, H. Über eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung. Archiv der Mathematik und Physik. 1907, 3 (12): 292–295. 
  2. ^ Pósa, L. Über eine Eigenschaft der Primzahlen. Mat. Lapok 11. 1960. 
  3. ^ Sándor, J. Über die Folge der Primzahlen. Mathematica (Cluj). 1988, 30 (53): 67–74. 
  4. ^ Panaitopol, L. An inequality involving prime numbers. Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 2000, (11): 33–35. 
  5. ^ Hassani, M. Approximation of the product p_1p_2...p_n. RGMIA Research Report Collection 2. 2005. 
  6. ^ Ghosh, A. An asymptotic formula for the Chebyshev theta function. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics. 2019, 25 (4): 1–7. doi:10.7546/nntdm.2019.25.4.1-7. 

參考資料

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  • Uspensky, J. V.; Heaslet, M. A. Elementary Number Theory. New York: McGraw Hill. 1939: 87. 
  • Zhang, Shaohua. A new inequality involving primes. 2009. arXiv:0908.2943v1 .  cite arXiv模板填寫了不支持的參數 (幫助)