大O符号

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大O符号(英語:Big O notation),又稱為漸進符號,是用于描述函数渐近行为数学符号。更确切地说,它是用另一个(通常更简单的)函数来描述一个函数数量级渐近上界。在数学中,它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项;在计算机科学中,它在分析算法复杂性的方面非常有用。

大O符号是由德国数论学家保罗·巴赫曼在其1892年的著作《解析数论》(Analytische Zahlentheorie)首先引入的。而这个记号则是在另一位德国数论学家愛德蒙·蘭道的著作中才推广的,因此它有时又称为蘭道符号(Landau symbols)。代表“order of ...”(……阶)的大O,最初是一个大写希腊字母Ο”(omicron),现今用的是大写拉丁字母O”。

使用

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无穷大渐近

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大O符号在分析算法效率的时候非常有用。举个例子,解决一个规模为 的问题所花费的时间(或者所需步骤的数目)可以表示為: 。当 增大时, 项将开始占主导地位,而其他各项可以被忽略。举例说明:当  项是 项的1000倍大,因此在大多数场合下,省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。

进一步看,如果我们与任一其他级的表达式比较, 项的系数也是无关紧要的。例如:一个包含  项的表达式,即使 ,假定 ,一旦 增长到大于1,000,000,后者就会一直超越前者( )。


这样,針對第一個例子 ,大O符号就记下剩余的部分,写作:

 

 

并且我们就说该算法具有 阶(平方阶)的时间复杂度

无穷小渐近

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大O也可以用来描述数学函数估计中的误差项。例如 泰勒展开

  

这表示,如果 足够接近于0,那么误差 绝对值小于 的某一常数倍。

注:泰勒展开的误差余项 是关于 一个高阶无穷小量,用小o来表示,即: = ,也就是 

形式化定义

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給定兩個定義在實數某子集上的關於 的函數  ,當 趨近於無窮大時,存在正实數 ,使得對於所有充分大英语sufficiently large ,都有 的絕對值小於等於 乘以 的絕對值,那麼我們就可以說,當 時,

 

也就是說,假如存在正實數 和實數 0,使得對於所有的 ,均有: 成立,我們就可以認爲, 

在很多情況下,我們會省略“當 趨近於無限大時”這個前提,而簡寫爲:

 

此概念也可以用於描述函數 在接近實數 時的行爲,通常 。當我們說,當 時,有 ,也就相當於稱,當且僅當存在正實數 和實數 ,使得對於所有的 ,均有 成立。

如果當  足夠接近時, 的值仍不爲0,這兩種定義就可以統一用上極限來表示:

當且僅當 時,有 

例子

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在具体的运用中,我们不一定使用大O符号的标准定义,而是使用几条简化规则来求出关于函数 的大O表示:

  • 假如 是几项之和,那么只保留增长最快(通常是阶最高)的项,其他项省略。
  • 假如 是几项之积,那么常数(不取决于x的乘数)省略。

比如,使 ,我们想要用大O符号来简化这个函数,来描述 接近无穷大时函数的增长情况。此函数由三项相加而成,   。由于增长最快的是 这一项(因为阶最高,在x接近无穷大时,其对和的影响会大大超过其余两项),应用第一条规则,保留它而省略其他两项。对于 ,由两项相乘而得,  ;应用第二条规则, 是无关x的常数,所以省略。最后结果为 ,也即 。故有:

 ,可得:
 

我们可以将上式扩展为标准定义形式:

对任意 ,均有 ,也就是 

可以(粗略)求出  的值来验证。使 

 

 可以为13。故两者都存在。

常用的函数阶

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下面是在分析算法的时候常见的函数分类列表。所有这些函数都处于 趋近于无穷大的情况下,增长得慢的函数列在上面。 是一个任意常数。

符号 名称
  常数(阶,下同)
  对数
  多对数
  线性,次线性
   迭代对数
  线性对数,或对数线性、拟线性、超线性
  平方
  多项式,有时叫作“代数”(阶)
  指數,有时叫作“几何”(阶)
  阶乘,有时叫做“组合”(阶)

一些相关的渐近符号

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大O是最经常使用的比较函数的渐近符号。

符号 定义
  渐近上限
  Asymptotically negligible渐近可忽略不计( 
  渐近下限(当且仅当 
  Asymptotically dominant渐近主导(当且仅当 
  Asymptotically tight bound渐近紧约束(当且仅当  

注意

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大O符号经常被误用:有的作者可能会使用大O符号表达大Θ符号的含义。因此在看到大O符号时应首先确定其是否为误用。

参看

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参考文献

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引用

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来源

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书籍
  • 严蔚敏、吴伟民:《数据结构:C语言版》. 清华大学出版社,1996. ISBN 7-302-02368-9. 1.4节 算法和算法分析,pp. 14-17.
  • 朱青:《計算機算法與程序設計》. 清华大学出版社,2009.10。ISBN 978-7-302-20267-7. 1.4节 算法的複雜性分析,pp. 16-17.

延伸閱讀

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