对数平均是一个二个非负数字的数学函数,等于两者的差除以其对数的差。其符号为:
三维图表显示对数平均的值
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c542c4eafd190570559c59ed63f4fd17530ab2)
其中
都是正整数。
对数平均的计算适用在有关热传及质传的工程问题上。
二个数字的对数平均小于其算术平均,大于几何平均[1],若二个数字相等,对数平均会等于算数平均及几何平均。
-
对数平均可推广到 变数,考虑对数n阶导数的均差中值定理。
可以得到:
其中 为对数的均差。
若 ,会变成
- .
积分的表示法也可以推广到多变数,但结果不同。
假设单纯形
其中 及适当的量度 可以使单纯形得到1的体积,可得
-
利用指数函数的均差可以简化如下
- .
例如
- .
- (算术平均)