单参数酉群的斯通定理

数学中,单参数酉群的斯通定理泛函分析的一个基本定理,建立了希尔伯特空间 强连续单参数酉群与该空间上的某个自伴算子的一一对应关系。具体来说,单参数酉群是指幺正算子构成的单参数族 ,且 是一个连续群同态,所谓强连续是指

该定理由Marshall Stone (1930, 1932证明,而 John von Neumann (1932 表明,至少当希尔伯特空间是可分的, 的强连续性可以放宽为弱可测

这是一个令人印象深刻的结果,因为它允许人们定义映射 的导数,而该映射仅仅需要是连续的。它也与李群李代数的理论有关。

正式表述

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定理[1] —   是一个强连续的单参数酉群。那么存在一个唯一的(可能是无界的)自伴算子   满足     的定义域   定义为  

反过来,设   是一个   上的(可能无界的)自伴算子,并定义单参数的幺正算子族    则其构成一个强连续的单参数群。

在定理的两个部分中,表达式   是通过博雷尔函数演算来定义的,它用到了无界自伴算子谱定理

无穷小生成元

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上述定理中的算子   被称为  无穷小生成元。此外,   有界当且仅当映射  范数连续的。

强连续酉群   的无穷小生成元   可以用下面的式子来计算:

 

其中,   的定义域为由这些在范数拓扑中存在极限的向量   组成。也就是说,   等于   乘以   关于    处的导数。该定理的一部分内容就是该导数的存在性——即   是一个稠密定义的自伴算子。这个结果即使在有限维情况下也不是显然的,因为   仅被假设具有(关于时间的)连续性,而不必可微。

例子

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平移算子族

 

是一个由酉算子构成的单参数酉群;其无穷小生成元是一个空间上的微分算子

 

的一个扩张英语Extensions of symmetric operators,该空间由   上连续可微的紧支撑复值函数构成。因此

 

换句话说,直线上的运动是由动量算子生成的。

应用

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斯通定理在量子力学中有着广泛的应用。例如,给定一个孤立的量子力学系统,其状态的希尔伯特空间为   ,其时间演化则是   上的强连续单参数酉群。这个群的无穷小生成元即是系统的哈密顿算子

基于傅里叶变换的表述

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斯通定理可以用傅里叶变换的语言来重述。实轴   是一个局部紧阿贝尔群群C*-代数英语Group algebra of a locally compact group   的非退化*-表示  的强连续幺正表示(即强连续的单参数酉群)一一对应。另一方面,傅里叶变换是   *-同态,其中   是实轴上的在无穷远处消失的连续复值函数所构成的C*-代数。因此,强连续单参数酉群与   的*-表示之间存在一一对应关系。由于   的每个*-表示唯一地对应于一个自伴算子,就得到了斯通定理。

因此,获得强连续单参数酉群的无穷小生成元的过程如下:

  •   希尔伯特空间   上的强连续幺正表示。
  • 积分此酉表示以产生    上的非退化*-表示   。即,先定义 再将   连续扩张到整个  
  • 使用傅里叶变换获得    上的非退化的 *-表示  
  • 根据里斯-马尔可夫-角谷表示定理  给出   上的一个投影值测度,而其是唯一的(可能无界的)自伴算子  单位分解
  • 于是,   就是   的无穷小生成元。

  的精确定义如下。考虑   上的紧支撑连续复值函数,通过由卷积给出其乘法,其构成一个*-代数   。这个 *-代数关于L1范数完备化为一个巴拿赫*-代数,记作   。于是   就被定义为  包络  -代数 ,即   相对于最大的可能的C*-范数的完备化。一个非平凡的事实是,傅里叶变换是    间的一个同构。这个方向的一个结果是黎曼-勒贝格引理,它指出傅里叶变换将   映射到  

推广

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斯通-冯诺伊曼定理将斯通定理推广到满足正则对易关系的一自伴算子   上,并证明它们都与   上的位置算符动量算符幺正等价。

希尔-吉田定理英语Hille–Yosida theorem将斯通定理推广到巴拿赫空间上的强连续单参数压缩半群。

引注

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  1. ^ Hall 2013 Theorem 10.15

参考书目

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