极限点(英語:Limit point)在数学中是指可以被集合S中的点[註 1]随意逼近的點。[註 2]

这个概念有益的推广了极限的概念,并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上,一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点,而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。[註 3]

定义

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定義 — 
 拓扑空间  的子集;若對  的某點 ,所有包含  开集也有   內的非   点,即:

 

則稱   极限点limit point)。由   的所有極限點所組成的集合稱為  導集derived set),通常記為 ,換句話說:

 

以上的定義來自於「總是可以找到一組  內的點去逼近  」的粗略想法,但一般的拓撲空間的不一定有像距離這樣的工具來比較「開集的大小」,若想以極限點嚴謹地描述「可沿著   去逼近點 」的話,還需要對 做額外的假設。

特殊类型的極限點

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定義 — 
 拓扑空间  的子集:

若包含 的所有开集都包含可數  的点,则稱  ω会聚点ω‐accumulation point)。

若包含  的所有开集都包含不可數 的点,则稱  缩合点condensation point)。

度量空间的聚集点

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度量空间  自然的帶有由度量 生成的拓撲  更仔細地說,是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲,也就是 裡的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話,就會等價於對 定義(因為屬於某個開球等價於屬於某開集),換句話說,對度量空間可以作如下定義:

定義 — 
 度量空间 ,且   ;若   ,且對所有  ,存在   使得   ,也就是

 

這樣稱   是    的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)

直觀上可理解為「可以用   裡的點(以度量   )無限制地逼近 」。應用上,  定義域的聚集點也是函數極限能在   上有定義的前提條件。

度量空间中,ω会聚点与普通的极限点定义等价

性质

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  • 关于极限点的性质:  的极限点,当且仅当它属于  \ { }的闭包
    • 证明:根据闭包定义,某点属于某集合的闭包,当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有:x 的极限点,当且仅当所有 的邻域都包含一个非 的点属于S,当且仅当所有 的邻域含有一个点属于 \ {x},当且仅当 属于 的闭包。
  •  的闭包具有下列性质: 的闭包等于 和其導集的并集
    • 证明:(从左到右)设 属于 的闭包。若 属于S,命题成立。若 ,则所有 的邻域都含有一个非 的点属于 ;也就是说,x 的极限点, 。(从右到左)设 属于S,则明显地所有 的邻域和 相交,所以 属于 的闭包。若 属于L(S),则所有 的邻域都含有一个非 的点属于S,所以 也属于 的闭包。得证。
  • 上述结论的推论给出了闭集的性质:集合 是闭集,当且仅当它含有所有它的极限点。
    • 证明1S是闭集,当且仅当 等于其闭包,当且仅当 = ∪ L(S),当且仅当L(S)包含于S
    • 证明2:设 是闭集,  的极限点。则 必须属于S,否则 的补集为 的开邻域,和 不相交。相反,设 包含所有它的极限点,需要证明 的补集是开集。设 属于 的补集。根据假设,x不是极限点,则存在 的开邻域U 不相交,则U 的补集中,则 的补集是开集。
  • 孤点不是任何集合的极限点。
    • 证明:若 是孤点,则{x}是只含有  的邻域。
  • 空间 离散空间,当且仅当 的子集都没有极限点。
    • 证明:若 是离散空间,则所有点都是孤点,不能是任何集合的极限点。相反,若 不是离散空间,则单元素集合{x}不是开集。那么,所有{x}的邻域都含有点yx,则  的极限点。
  • 若空间 密着拓扑,且  的多于一个元素的子集,则 的所有元素都是 的极限点。若 单元素集合,则所有 \ 的点仍然是 的极限点。
    • 说明:只要 \ {x}非空,它的闭包就是X;只有当 是空集或  的唯一元素时,它的闭包才是空集。
  •  T1空間,則    的極限點等價於   的每個鄰域皆包含無限多個   的點。[註 4]

注释

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  1. ^ 不包含极限点本身
  2. ^ 非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近
  3. ^ 一个有关的概念是序列的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)。
  4. ^ 在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点,使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质,這樣通常會比較輕鬆。

引用

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