里奇流

内在的几何流

里奇-哈密頓流,一般稱為里奇流(英語:Ricci flow)在微分幾何中是指一種固有的幾何學流動,它的主要思想是讓流形隨時間變形,即是讓度規張量隨時間變化,觀察在流形的變形下,里奇曲率是如何變化的,以此來研究整體的拓撲性質。它的核心是里奇-哈密頓流方程[註 1],是一個擬線性拋物型方程組。

不同時期的里奇流的2D流形.

里奇流以義大利數學家格雷戈里奧·里奇-庫爾巴斯托羅的名字命名,由美國數學家理察·哈密頓於1981年首次引入。這個工具同時被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼用於解決千禧年大獎難題之一的龐加萊猜想[1]。同樣的,西蒙·布倫德理察·肖恩正是使用它,使微分球面定理英語Sphere theorem完成證明。

數學定義

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給定黎曼流形上一個度規張量 可以計算出里奇張量  則這個度規張量(以及里奇張量)是一族與時間 t 有關的函數(儘管不一定是真實的物理相關的時間),然后里奇流的定義由以下幾何演變方程(geometric evolution equation)給出[2]

 

正規化的里奇流需要結合緊空間流形給出方程:

 

這裡的   是關於純量曲率(為里奇張量的)的平均值, 是流形的維數,這個正規化方程保持度量的體積不變。

實際上,這個-2 因數意義不大,因為可以常數乘 t 而使 -2 改寫成任意的非零實數。

注釋

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  1. ^ 或只稱為里奇流方程

參考文獻

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  1. ^ Perelman, Grisha. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. November 11, 2002. arXiv:math.DG/0211159  |class=被忽略 (幫助). 
  2. ^ Friedan, D. Nonlinear models in 2+ε dimensions. PRL. 1980, 45 (13): 1057 [2017-11-02]. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057. (原始內容存檔於2019-06-30).