超積

數學構造,是無窮項笛卡兒積的商集

數學上,超積(英語:ultraproduct)是常見於抽象代數數理邏輯(尤其模型論集合論)的構造。超積是一族無窮多個結構直積商結構,不過要求該族結構具有相同的表徵英語signature (logic)超冪(英語:ultrapower)則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例,給定一個,可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積,可以寫出緊緻性定理完備性定理的優雅證明。開斯勒英語H. Jerome Keisler的超冪定理,從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔(Elias Zakon)用超結構及其單同態的表示來構造分析非標準模型,使非標準分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

定義

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超積的一般定義中,先選定指標集 、對應每個下標 結構 (具相同的表徵英語Signature (logic)),以及 上的超濾子 。通常僅考慮 無窮集,且 不為主超濾子的情況,即 的元素有齊 的全部餘有限子集,但無任何有限子集。原因是,在主超濾子的情況下,所得的超積只會與其中一個因子同構,並無新的性質。

笛卡兒積

 

上的代數運算,是逐點計。例如,對於二元運算  。然後,在笛氏積上,定義等價關係 ,使 當且僅當

 

(應當理解為「  在大多數位置相等」)。

最後,所得的超積,是模 商集。所以,該超積有時記為

 

另一種看法是,在指標集 上,定義一個有限可加的測度 (弱於一般可數可加的條件),僅取 二值,若 則稱 ,否則稱 。然後在笛氏積中,兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等,則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他關係英語relation (mathematics)同理可作引申:

 

其中 表示  所屬的等價類。

特別地,若每個 皆為有序域,則所得的超積亦然。

所謂超冪,意思是所有因子 皆相等的超積:

 

也可以推廣到 不為超濾子,而僅為 上普通一個濾子的情況。此時所得的模型 稱為約化積(英語:reduced product)。

例子

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超實數系可數無窮多個(以自然數集編號)實數系的超積,其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如, 的序列 所在的等價類,記為超實數 ,比任意實數都要大,因為對於任意實數  除有限項外皆比 大。於是, 可以理解成無窮大數。

類似地,可以定義非標準整數系英語nonstandard integer非標準複數系英語nonstandard complex numbers等,為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子,以便理解超積中關係的定義。設超實數 為序列 所在的等價類。由於對每個 都有 ,在超積中,有 ,所以 是較原先構造出的 更大的無窮大數。又考慮與 類似的序列 ,令 時, ,但 。則雖然兩個序列 ,但兩者僅在有限個下標處不相等,故兩者相等的下標集合是超濾子的元素(因為是餘有限集),從而作為等價類,有 

大基數論中,有個標準構造是小心選取超濾子 ,然後取整個集合論全類關於 的超積。此時, 的性質,對於所得超積的(高階)性質影響很大。例如,若 可數完備,則相應的超積仍是良基的。該範例在可測基數 § 定義有提及。

沃希定理

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沃希定理(英語:Łoś's theorem),又稱超積基本定理英語fundamental theorem,由耶日·沃希英語Jerzy Łoś所證(波蘭語發音:[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ])。定理斷言,任何一條一階邏輯式在超積 中為真,當且僅當使該公式在 中成立的指標 的集合,是 的元素。後一個條件,可以直觀理解為「大多數」 皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下:

設有表徵 ,指標集 ,其上的超濾子 ,且對每個 ,有 結構 。又設  關於 之超積,即 。則對任意 個多元組 ,其中 ,以及對任意 公式 

 

定理對公式 複雜度歸納得證。 為超濾子(而不僅是濾子)的性質,在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步,要用到選擇公理。應用定理可得超實域轉移原理英語transfer principle

實例

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 為結構 上的一元關係,並構造 的超冪。則集合 在超冪中有對應的子集 ,而在 中,對 量化且為真的一階公式,將 換成 後,仍在超冪中成立。例如,設 實數集。設 表示「 為有理數」。則在 中,對每對有理數 ,總有無理數 介於兩者之間。即:

 

既然有理數集 此一性質可以寫成一階命題,沃希定理推出,超有理數集 仍有同一性質,即任意兩個超有理數之間,有一個不為超有理數的超實數(「超無理數」)。更一般地,超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而,考慮實數的阿基米德性質,即不存在實數 同時滿足 此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示,所以,沃希定理不適用於此性質,不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反,超實數不滿足阿基米德性質,例如前一節構造的超實數 ,就比 都要大。

超冪的正極限(超極限)

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模型論集合論中,常考慮一列超冪的正極限英語direct limit(範疇論的餘極限)。模型論中,此構造稱為超極限(英語:ultralimit)或極限超冪(英語:limiting ultrapower)。

從某結構 和超濾子 開始,構造出超冪 ,並重複,得到 等。對每個 ,有典範對角嵌入 。在極限階段,如 ,取此前所有結構的正極限,如此便可取超限多次超冪。

參見

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參考資料

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