數學中,環繞數linking number)是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變量。直觀上,環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數,但有可能取正數或負數,取決於這兩條曲線的定向

這樣 (2,4)-環面鏈環的兩條曲線的環繞數是 4。

環繞數由高斯環繞積分的形式引入。它在紐結理論代數拓撲微分幾何的研究中是重要的對象,並在數學科學中有許多應用,包括量子力學電磁學以及 DNA超螺旋的研究。

定義

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空間中任何兩條閉曲線都恰好可以移動成如下標準位置之一。這決定了環繞數:

       
環繞數 -2 環繞數 -1 環繞數 0
       
環繞數 1 環繞數 2 環繞數 3

每條曲線在移動過程中可以穿過自身,但這兩條曲線保持互相分離。

計算環繞數

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六個正交叉與兩個負交叉,這兩條曲線的環繞數為 2。

存在一個算法計算出一個鏈環圖表的環繞數。按如下法則將每個交叉標記為「正」或「負」 [1]

 

正交叉數總數減去負交叉數總數等於環繞數的兩倍,即

環繞數 

這裡 n1, n2, n3, n4 分別表示四類交叉數的個數。兩個和    總相等[2]。這樣得到了如下另外的公式

環繞數 

注意到   只涉及到藍曲線被紅曲線下交叉,而   只涉及到上交叉。

性質與例子

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懷特黑德鏈環兩條曲線環繞數為零。
  • 任何兩條沒有連結起來的曲線相交數為零。但環繞數為零的兩條曲線仍可能是連結起來的(例如右圖的懷特黑德鏈環英語Whitehead link)。
  • 逆轉任何一條曲線的定向,環繞數改變符號;但兩條曲線同時逆轉定向,環繞數不變。
  • 環繞數具有手征性:取一個鏈環的鏡像,環繞數改變符號。我們對正環繞數的約定基於右手法則
  • x-y 平面上一條定向曲線的卷繞數等於它與 z-軸(將 z-軸想像為三維球面中一條閉曲線)的環繞數。
  • 更一般地,如果其中一條曲線是簡單的,則這個分支的第一同調群同構於整數 Z。在此情形,環繞數由另一條曲線的同調類決定。
  • 物理學中,環繞數是拓撲量子數之一例,它與量子糾纏有關。

高斯的積分定義

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給定兩條不交可微曲線  ,定義從環面單位球面高斯映射  

 

取單位球面上一點 v,從而鏈環的正交投影到垂直於 v 的平面給出一個鏈環圖表。觀察到點 (s, t) 在高斯映射下映為 v 對應於鏈環圖表中一個交叉,這裡    上。並且 (s, t) 的一個鄰域在高斯映射下映為 v 的一個鄰域,保持或逆轉定向取決於交叉的符號。從而為了計算這個對應於 v 的鏈環圖表的環繞數,只需數高斯映射覆蓋 v 的帶符號次數。由於 v 是一個正則值,這恰是高斯映射的度數(即 Γ 的蓋住球面的帶符號次數)。環繞數的同痕不變性自動由度數在同倫下不變得到。任何其它正則值將得到相同的數,所以環繞數與任何特定的鏈環圖表無關。

曲線 γ1γ2 的環繞數的這種表述給出了用二重線積分表示的一個明確公式,即高斯環繞積分

環繞數 

這個積分求出了高斯映射像的全部帶符號面積(被積函數是 Γ 的雅可比矩陣),然後除以球面的面積(等於 4π)。

推廣

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  • 就像三維中環繞的閉曲線,任何兩個維數為 mn閉流形,可能在  歐幾里得空間中環繞起來。任何這樣鏈環有一個相伴的高斯映射,其度數是環繞數的推廣。
  • 任何標架紐結英語framed knot有一個自環繞數,得自計算紐結 C 與將曲線 C 中的點沿著標架向量稍微移動得到一條新曲線的環繞數。由鉛直移動(沿著黑板標架)得到的自環繞數稱為考夫曼自環繞數Kauffman's self-linking number)。

量子場論

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U(1) 陳-西蒙斯理論是:

 

 路徑積分

 

包括C1和C2的威爾森迴圈。J=J1+J2,而且

 

因為這是高斯的積分,所以我們不需要重整化正規化。再說這個積分是拓撲不變。

若J是經典方程就是

 

 

若我們選洛倫茨規範 

 

電磁學,解是

 

 

這是最簡單的一個拓撲量子場論。根據愛德華·威滕的證明,非阿貝爾G的陳-西蒙斯論給其他拓撲不變,例如瓊斯多項式

另見

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注釋

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  1. ^ 這與計算一個紐結絞擰數時使用的標記是一致的,不過此情形我們只需標記涉及兩條曲線的交叉。
  2. ^ 如果其中一條曲線是簡單的,這由若爾當曲線定理得到。例如,如果藍曲線是簡單的,則 n1 + n3n2 + n4 表示紅曲線向內與向外穿過藍曲線所圍區域的次數。

參考文獻

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