澤爾尼克多項式

澤爾尼克多項式是一個以1953年獲諾貝爾物理學獎荷蘭物理學家弗里茨·澤爾尼克命名的正交多項式,分為奇、偶兩類

頭15個澤爾尼克多項式
20個澤爾尼克多項式 以Noll序列表示

奇多項式:

偶多項式


其中 為非負整數,

方位角

 为径向距离

如果 n-m為偶數則


如果n-m為奇數,則

澤爾尼克多項式的超幾何函數表示

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澤爾尼克多項式也可以表示為超幾何函數

 


Noll 序列

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Noll 用一個J數字表示 [n,m]:如下表

n,m 0,0 1,1 1,−1 2,0 2,−2 2,2 3,−1 3,1 3,−3 3,3
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n,m 4,0 4,2 4,−2 4,4 4,−4 5,1 5,−1 5,3 5,−3 5,5
j 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

澤爾尼克多項式

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由於

 

其中 因j而異,

 
 
 
 
 

必須先歸一化

 

使得

 


歸一化澤爾尼克多項式以Noll序列排列如下:

Noll index ( ) Radial degree ( ) Azimuthal degree ( )   Classical name
1 0 0   Piston
2 1 1   Tip (lateral position) (X-Tilt)
3 1 −1   Tilt (lateral position) (Y-Tilt)
4 2 0   Defocus (longitudinal position)
5 2 −2   Astigmatism
6 2 2   Astigmatism
7 3 −1   Coma
8 3 1   Coma
9 3 −3   Trefoil
10 3 3   Trefoil
11 4 0   Third-order spherical
12 4 2  
13 4 −2  
14 4 4  
15 4 −4  

正交性

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徑向正交性
 
角度正交性
 
 
 

其中   稱為Neumann因子,其數值為 2 如果滿足   ,數值為 1,如果  .

徑向與角度正交性
 

其中   為 雅可比矩陣

   都是偶數.


參考文獻

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