數學中,實射影空間real projective space),記作 RPn,是 Rn+1 中的直線組成的射影空間。它是一個 n光滑流形,也是格拉斯曼流形的一個特例。

構造

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與所有射影空間一樣,RPn 是通過取 Rn+1 − {0} 在等價關係 x ∼ λx 對所有實數 λ ≠ 0 下的商空間。對所有 x 屬於 Rn+1 − {0},總可找到一個 λ 使得t λx範數為 1。恰好有相差一個符號的兩個這樣的 λ。

RPn 也可通過將 Rn+1 中單位 n-維球面 Sn對徑點等同起來得到。

進一步我們限制在 Sn 的上半球面,僅將邊界赤道上的對徑點等同。這說明 RPnn-維圓盤 Dn 將邊界 ∂Dn = Sn−1 上的對徑點等同。

低維例子

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  也成為實射影直線拓撲等價於圓周

  稱為實射影平面

 微分同胚)是 SO(3),從而有一個群結構;覆疊映射   是一個群映射  ,這裡 Spin(3)SO(3) 的萬有覆疊李群

拓撲

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n-維球面的對徑映射(將 x 送到 -x)生成 Sn 上一個 Z2 群作用。上已提到,這個作用的軌道空間是 RPn。這個作用恰是一個覆疊空間作用,使 Sn 成為 RPn二重覆疊。因為對 n ≥ 2,Sn單連通的,它們在此情形也是萬有覆疊。從而當 n > 1 時,RPn基本群Z2(當 n=1 基本群是 Z 因為同胚於 S1)。基本的一個生成元是連接 Sn 中一組對徑點的曲線投影到 RPn 上的閉曲線。

點集拓撲

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n-維射影空間的一些性質:

  • 1-維射影空間同胚與圓周。
  • 2-維射影空間不能嵌入 R3。但可以嵌入 R4 以及浸入 R3
  • n-維射影空間事實上同胚於 R(n+1)2 中所有跡為 1 的對稱 (n+1)×(n+1) 冪等線性轉換組成的子流形。
  • n-維射影空間是緊連通空間,基本群同構於 2 階循環群(從 n-維球面到 n-維射影空間的商映射是 n-維射影射影空間被一個路徑連通空間的二重覆疊)。

同倫群

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  的高次同倫群恰好是   的高階同倫群,有纖維化的同倫長正合序列得出。

確切地,這個纖維叢是

 

你也可以類似於複射影空間將其寫成

 

 

低次同調群是

 

光滑結構

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實射影空間是光滑流形。在 Sn 的齊次坐標 (x1...xn+1) 中,考慮子集 Ui 使得 xi ≠ 0。每個 Ui 同胚於 Rn 中的開單位球體,且坐標轉移函數是光滑的。這給出了 RPn 一個光滑結構

CW 結構

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實射影空間 RPn 有一個 CW結構,在每一維有 1 個胞腔。

Sn 上的齊次坐標 (x1 ... xn+1) 中,坐標鄰域 U1 = {(x1 ... xn+1)|x1 ≠ 0} 可與 n-維圓盤 Dn 的內部等價。當 xi = 0,我們有 RPn - 1。從而 RPnn - 1 骨架是 RPn - 1,而且黏貼映射 f: Sn-1RPn - 1 是一個二對一映射。我們可令

 

歸納證明 RPn 是一個 CW 複形,在每一維有 1 個胞腔。

這些胞腔與旗流形英語Generalized flag variety上一樣是舒伯特胞腔英語Schubert variety。這便是,取一個完全(稱為標準旗)0 = V0 < V1 <...< Vn;則閉 k-胞腔是屬於 Vk 中的直線。而開 k-胞腔(k-胞腔的內部)是 Vk\Vk-1 中的直線(屬於 Vk 但不屬於 Vk - 1 的直線)。

在齊次坐標(關於旗的)中,這些胞腔是

 
 
 
 

這不是一個正則 CW 結構,因黏貼映射是二對一的。但它的覆蓋是球面上一個正則 CW 結構,在每一維有 2 個胞腔;事實上,這是球面上最小的正則 CW 結構。

在光滑結構的幫助下,莫爾斯函數的存在性可證明 RPn 是一個 CW 複形。在齊次坐標中,這樣一個函數可為:

 

在每個鄰域 Uig 有非退化奇異點 (0...,1,...0),這裡 1 出現於第 i 個位置,具有莫爾斯指標 i。這說明了 RPn 是一個在每一維有一個胞腔的 CW 複形。

同調

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與上面 CW 結構相伴的胞腔鏈複形在每個維數 0,...,n 恰有一個胞腔。對每個維數 k,邊界映射 dk : δDkRPk-1/RPk-2,坍塌到 Sk - 1 上的赤道然後將對徑點等同。在奇數(偶數)維,度數為 0(2):

 

從而整同調

 

可定向性

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  可定向若且唯若 n 為奇數,上面的同調計算已經做了說明。更具體地,  上的對徑映射有符號  ,所以它是保定向的若且唯若 p 是偶數。從而定向特徵標英語Orientation character是:  中的非平凡迴路作為   作用在定向上,所以   可定向若且唯若 n+1 為偶數,即 n 為奇數。

重言叢

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在實射影空間上有一個自然的線叢,稱為重言叢。更確切地,這稱為重言子叢,也存在一個對偶 n-維叢稱為重言商叢。

幾何

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實射影空間有一個常正純量曲率度量,由二重覆疊的標準圓球面(對極映射是一個等距)得來。

對標準圓度量,其截面曲率恆等於 1。

測度

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在標準圓度量中,射影空間的測度恰好是球面測度的一半。

無窮實射影空間

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無窮實射影空間構造為有限射影空間的正向極限或聯集:

 

拓撲上說,這是艾倫伯格-麥克蘭恩空間英語Eilenberg–MacLane space (它被可縮的無窮球面   二重覆疊)並且是 BO(1)線叢分類空間(更一般地,無窮格拉斯曼流形向量叢的分類空間)。

係數取 Z/2 的餘調環

 

這裡   是第一斯蒂弗爾-惠特尼類: 它是  (其度數為 1)上的自由  -代數。

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