二元運算

作用於兩個對象的運算

二元運算是種數學運算,它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西,即元數為2的運算。比如說,兩個整數的加法是二元運算,因整數相加以後仍然是整數。

定義

編輯

二元運算的定義 — 一個集合   上的二元運算是一個定義域是  對應域  函數

如果從集合   對自己的笛卡兒積 (也就是   )取出的任意   ,都會對應  的某個值   ,那對應規則   的本身就被稱為二元運算。

  通常寫為   ,而且比起使用字母,二元運算時常以某種運算符表示,來跟普通的函數作區別。

事實上   這個記號本身就保證了:「只要   就會有   」,這個性質也稱為(二元)運算封閉性

常用性質和術語

編輯

關於二元運算有很多常見的性質和術語,列舉如下:

  是集合   上的二元運算, ,則:

  •   為一個  左單位元素,若   滿足: 
  •   為一個  右單位元素,若   滿足: 
  •   單位元素,若   既是左單位元素、又是右單位元素。

  是集合   上帶有單位元素   的二元運算,   。則:

  •   是一個  左反元素,若   滿足:  
  •   是一個  右反元素,若   滿足:  
  •   反元素,若   既是  左反元素、又是  右反元素。這種情況下   常被寫作   

  是集合   上的二元運算,   ,則:

  •   為一個左零元素,若   滿足:  
  •   為一個右零元素,若   滿足:  
  •  零元素,若   既是左零元素、又是右零元素。

  是集合   上的帶有零元素   的二元運算,    。則:

  •   是一個左零因子,若   滿足:   ,使得  
  •   是一個右零因子,若   滿足:   ,使得  
  •   是一個零因子,若   既是左零因子、又是右零因子。

  是集合   上的二元運算,則: 稱   滿足交換律,若: 

  是集合   上的二元運算,則: 稱   滿足結合律,若:  

 :  是集合 上的二元運算,則:

 滿足左消去律,若 滿足: 

 滿足右消去律,若 滿足: 

 滿足消去律,若 同時滿足左消去律與右消去律。

 :  是集合 上的二元運算,則: 稱 滿足冪等律,若 滿足: 

冪么律

編輯

 :  是集合 上的二元運算,i是  下的單位元素, 則:稱 滿足冪么律,若 滿足: (顯然此時每個元素都是它自己的反元素);

冪零律

編輯

 :  是集合 上的二元運算,z是  下的零元素, 則:稱 滿足冪零律,若 滿足: ,有 (顯然此時每個元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);

 :   :  是集合 上的兩個二元運算,則:

  •    滿足左分配律,若   滿足: ,有 
  •    滿足右分配律,若   滿足: ,有 
  •    滿足分配律,若   同時滿足左分配律和右分配律。