泊松求和公式

泊松求和公式（英文：Poisson Summation Formula）由法国数学家泊松所发现，它陈述了一个连续时间的信号，做无限多次的周期复制后，其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系，亦可用来求周期信号的傅立叶转换。

公式

设无周期函数$s(x)$具有傅里叶变换：

$S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx$

这里的$S(f)$也可以替代表示为${\hat {s}}(f)$和 ${\mathcal {F}}\{s\}(f)$。有如下基本的泊松求和公式：

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)$

对于二者通过周期求和而得到的周期函数：

$s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP),\quad n\in \mathbb {Z}$

$S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T),\quad k,T\in \mathbb {Z}$

这里的参数$T>0$并且$P>0$，它们有着同$x$一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式：

$s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S(k/P)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad k\in \mathbb {Z}$

这是一个傅里叶级数展开，其系数是函数$S(f)$的采样。还有：

$S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi nTf},\quad n,T\in \mathbb {Z}$

这也叫做离散时间傅里叶变换。

推导泊松求和公式所需的先备公式

考虑狄拉克δ函数$\delta (t)$，制作一个有无限多个$\delta (t)$，且间隔为$T_{0}$的周期函数$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$。

其傅立叶转换为①$\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=$②${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right)$

证明①转换对

${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right\}$=$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{\delta (t-nT_{0})\right\}$ =$\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}$。

证明②转换对

设$c_{n}$为周期函数$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$的傅立叶级数。

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$可表示为$\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}}$。

由傅立叶级数得:

$c_{n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT_{0})e^{-j2\pi {n}{\frac {t}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\delta (t)e^{-j2\pi {n}{\frac {t}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\delta (t)e^{-j2\pi {n}{\frac {0}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}$。

因此，${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}}\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T_{0}}}{\mathcal {F}}\left\{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}\right\}={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (f-n{\frac {1}{T_{0}}})$。

得到等式:$\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=$${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right)$，

经由适当的变量代换，$T_{0}$以${\frac {1}{T_{0}}}$代换，$f$以$t$代换，得$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT_{0}\right)={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$(因为n从负无限大到正无限大)

推导泊松求和公式

从对频域做取样寻找关系式

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)*\delta (t-nT_{0})$

$=x(t)*\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$

$=x(t)*{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)*e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}(t-\tau )}d\tau$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{[\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}\tau }d\tau ]e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}\right\}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

当$t=0$时，得$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})$，

表示一个信号的在时域以$T_{0}$为间隔做取样，在频域以${\frac {1}{T_{0}}}$为间隔做取样，则两者的所有取样点的总和会有$T_{0}$倍的关系。

---

从对时域做取样寻找关系式

${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f)*\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$=X(f)*[{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})]$

$=X(f)*\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f)*e^{-j2\pi nT_{0}f}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{-j2\pi nT_{0}(f-\lambda )}d\lambda$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{[\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{j2\pi nT_{0}\lambda }d\lambda ]e^{-j2\pi nT_{0}f}\right\}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})e^{-j2\pi nT_{0}f}$

当$f=0$时，得${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})$，

表示一个信号的在时域以$T_{0}$为间隔做取样，在频域以${\frac {1}{T_{0}}}$为间隔做取样，则两者的所有取样点的总和会有$T_{0}$倍的关系。

---

综合上述，若时域取样间隔$T_{0}=1$时，同样地，频域取样间隔${\frac {1}{T_{0}}}=1$时，得泊松求和公式$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k)$。

周期信号的傅立叶转换

考虑一个周期为${T_{0}}$的周期信号$g(t)$，$G(f)$为$g(t)$的傅立叶转换，取出g(t)在区间$[-{\frac {T_{0}}{2}},{\frac {T_{0}}{2}}]$的一个完整周期$x(t)$，亦即$x(t)=g(t)rect({\frac {t}{T_{0}}})$，$X(f)$是$x(t)$的傅立叶转换，其中$rect(t)$是矩形函数。$a_{n}$是$g(t)$的傅立叶级数。

则$G(f)$

$={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}\right\}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T_{0}}}X({\frac {n}{T_{0}}})\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

得出一周期信号的傅立叶转换与其傅立叶级数之间的关系。

延伸阅读

• Benedetto, J.J.; Zimmermann, G., Sampling multipliers and the Poisson summation formula, J. Fourier Ana. App., 1997, 3 (5) [2008-06-19], （原始内容存档于2011-05-24） 
• Gasquet, Claude; Witomski, Patrick, Fourier Analysis and Applications, Springer: 344–352, 1999, ISBN 0-387-98485-2 
• Higgins, J.R., Five short stories about the cardinal series, Bull. Amer. Math. Soc., 1985, 12 (1): 45–89 [2023-10-30], doi:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0 , （原始内容存档于2020-08-12）