交换代数中,Tor 函子张量积导函子。此函子起初是为了表述代数拓扑中的 Künneth 定理与普遍系数定理而定义。

定义

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 。令   为左  -模范畴、   为右  -模范畴(若  交换环,则两者等价)。固定一对象  ,考虑函子

 

这是从  阿贝尔群范畴   的右正合函子(若   为交换环,则它是映至   的右正合函子),因此能考虑其左导函子  ,记为  

换言之,对任一左  -模  射影分解

 

去掉尾项  ,并对   取张量积,得到链复形

 

并取其同调群,则得到  

此外,Tor 函子也能以   的左导函子定义,两种定义给出自然同构的函子。

性质

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  • Tor 函子与直和交换:
 
  • 对任何    是从   加法函子。若   是交换环,则它是从    的加法函子。
  • 依据导函子性质,每个短正合序列   导出长正合序列
 
对第二个变数亦同。
  •   为交换环,  非零因子,则
 
这是 Tor 函子的词源。
  • 由于阿贝尔群皆有长度不超过二的自由分解(因为自由阿贝尔群的子群皆为自由的),此时对所有  ,有  

谱序列

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  为交换环,  -模,并固定一个环同态  。我们有双函子的自然同构:

 

由此导出格罗滕迪克谱序列:对任何  -模  ,有谱序列

 

与平坦模的关系

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一个右  -模是平坦模的充要条件是  。此时可推出  。左  -模的情况准此可知。事实上,计算 Tor 函子时可以用平坦分解代替射影分解;凡射影分解必为平坦分解,反之则不然;平坦分解在技术上较富弹性。

文献

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  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1