正频率与负频率的概念,可以简单用顺时针或逆时针转动的轮子来阐释:频率带正负号,就能同时表示转动方向和频率大小,其大小用转数每秒(赫兹)或弧度每秒作为单位(1转为2π弧度)。

正弦波

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ω为一非负参数,其单位为rad/sec(弧度每秒)。若角度φ随时间t变化的关系式为φ(t) = -ωt + θ,则式中斜率为-ω,称为负频率。但是当该角度用作余弦函数的参数时,其结果便与cos(ωtθ)没有区别。同样,sin(−ωt + θ)亦与sin(ωtθ + π)没有区别。因此,任何正弦曲线皆能以正频率来表示,相位斜率所带有的正负号不再具有意义。

 
负频率导致正弦函数(紫线)领先余弦函数(红线)1/4圈。
 
向量(cos t, sin t)以1 rad/sec的角速度逆时针旋转,每2π秒转一圈。向量(cos (-t), sin (-t)) 以相反方向旋转(未显示)。

但若同时观察余弦与正弦运算子时,便能确定频率的符号,因为若ω > 0,则cos(ωt + θ)sin(ωt + θ)领先1/4圈(即π/2弧度);反之,若ω < 0,则落后1/4圈。同理,一个向量(cos t, sin t)以1 rad/sec的角速度逆时针转动,每2π秒转完一圈,而向量(cos (−t), sin (−t))则以另一个方向转动。

复指数函数 亦保留ω的正负号:

      [1] 式1

因为实部R(t)与虚部I(t)能分别比较。虽然 组合了sin和cos两个函数,所以似乎比两者含有更多资讯,但通常理解其为更简单的函数,因为

  • 它简化了许多重要的三角运算。严格而言,  解析表示
  • 式1有以下推论:
  式2

所以,也可以将 理解成同时包含正负频率,但其和事实上有互相抵销,故其所含资讯是并非更多,反而更少。

应用

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也许最为人熟知的负频率应用在于运算式 :

 

此数测量的,是函数x在区间(a, b)的一段中,所含频率ω成分的强度。若取区间为(−∞, ∞),对不同的ω求出 ,则得到函数X,称为x傅立叶变换。一个简单的解释是,两个正弦波的乘积也是正弦波,其频率为原始频率的总和。因此,当ω为正时,乘上 会使所有x(t)的频率都减少ωx(t)恰好具有频率ω的部分,将变为零频率,即常数,而其振幅大小,即为其初始时频率为ω的讯号强度。而x(t)处于零频率的部分,则会变成频率为-ω的正弦波。同样,所有其他频率,经减少ω后,仍是非零频率。当区间(a,b)越来越长,常数的贡献会与区间长度成正比,越来越大。但是正弦波项的贡献,则仅会在零附近震荡。因此X(ω)作为在x(t)中频率值ω的相对量度将会提高。

 的傅立叶转换仅会在频率为ω时产生一个非零响应。 的转换于ω与-ω处皆具有响应,与式2预测的一样。

正负频率采样和混叠

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这张图描述两个复正弦波,分别为金色与青色曲线,其实部与虚部通过同一组取样点。当以网格线标示的频率(fs)采样时,他们互相重合,但金色函数具有正频率,因为其实部(余弦函数)领先虚部1/4圈。反之,青色曲线则具有负频率,因为其实部落后于虚部

注释

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  1. ^ 等式又称为欧拉公式

参考资料

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  • Positive and Negative Frequencies页面存档备份,存于互联网档案馆
  • Lyons, Richard G. (Nov 11, 2010). Chapt 8.4. Understanding Digital Signal Processing (3rd ed.). Prentice Hall. 944 pgs. ISBN 0137027419.