莱布尼茨三角形

莱布尼茨三角形是一种将分数等腰三角形排列的一种排列方式,三角形二侧最外层的数字是其行编号的倒数,其中间的数字是其左侧数字和左上方数字差的绝对值。若用代数方式表示:

L(r, 1) = 1/rr为行编号,最小编号为1)
L(r, c) = |L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1)|c为为列编号,不会大于r

莱布尼茨三角形是数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1714年提出[1]。莱布尼茨三角形的前几列为:

莱布尼茨三角形的分母列在(OEIS数列A003506)中,其分子均为1。

杨辉三角形中,每一项都是其左上方和右上方数字的和.而在莱布尼茨三角形中,每一项都是其左下方和右下方数字的和,例如在第五行中的1/30是第六行二个1/60的和。

杨辉三角形可以用二项式系数来计算,而莱布尼茨三角形也可以用二项式系数来计算:。而且可以用杨辉三角形中的项次来计算莱布尼茨三角形:“每一行的各项是第一项除以杨辉三角形中对应项次的结果”[2]

若将莱布尼茨三角形中第n行的所有分母相加,其结果会是。例如第3行的分母和为3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22

特别是的莱布尼茨三角形中的各项可以用以下的积分式表示:

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参考资料

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  1. ^ Crilly, Tony. 50 Mathematical Ideas you really need to know. London: Quercus. 2007: 53. ISBN 978-1-84724-008-8. 
  2. ^ Wells, David (1986). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p.98. ISBN 978-0-14-026149-3.