真约数和,又称真因子和,在数论中,一个正整数的所有真约数之和,即除了自己本身外的所有正约数之和,通常以来表示:

真约数和函数的图形

真约数和可以用来描述素数完全数相亲数链亏数过剩数不可及数,也可以用于定义整数的真约数和数列

真约数和函数与1次除数函数的关系仅差[1]

例子

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以12为例,12的真约数(即除了自己本身外的所有正约数)有1、2、3、4和6,则其真约数和为 

下面数列呈现前几个整数的真约数和  [1]

0、 1、 1、 3、 1、 6、 1、 7、 4、 8、 1、 16、 1、 10、 9、 15、 1、 21、 1、 22、 11、 14、 1、 36、 6、 16、 13、 28、 1、 42、 1、 31、 15、 20、 13、 55、 1、 22、 17、 50、 1、 54、 1、 40、 33、 26、 1、 76、 8、 43、 21 …… (OEIS数列A001065

数字类别的性质

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真约数和函数可以用来区分几个特别的数字类别:

数学家保罗·波拉克(Paul Pollack)和卡尔·帕梅朗斯指出,埃尔德什·帕尔“最喜欢的研究项目”是真约数和。[2]

迭代

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迭代真约数和函数可以产生非负整数的真约数和数列n, s(n), s(s(n)), ...(在这个数列中,我们定义s(0) = 0)。

相亲数链真约数和数列周期数列英语Periodic sequence相亲数是周期为2的相亲数链。

目前尚不清楚这些数列是否总是以素数完全数或周期性的相亲数链为结尾。[5]

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10 
  3. ^ Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408 
  4. ^ Erdős, P., Über die Zahlen der Form   und   (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, (原始内容存档 (PDF)于2022-08-05) 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 

外部链接

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