集合 (數學)

此條目介紹的是數學家們所稱的「直觀」或「樸素」的集合理論。關於更詳細的說明，請見「樸素集合論」。關於有關集合的現代嚴格公理化理論，請見「公理化集合論」。

集合（英語：set）簡稱集，是一個基本的數學模型，指若干不同物件（英語：object）形成的總體。集合裏的物件稱作元素或成員，它們可以是任何類型的數學物件：數字、符號、變量、空間中的點、線、面，甚至是其他集合。若$x$是集合$A$的元素，記作$x\in A$。不包含任何元素的集合稱為空集；只包含一個元素的集合稱為單元素集合。集合可以包含有限或無限個元素。如果兩個集合所包含的元素完全相同，我們稱這兩個集合相等。

一個包含一些多邊形的集合

集合在現代數學無處不在，其基本理論是於十九世紀末創立的。自20世紀上半葉以來，集合理論，更確切地說是策梅洛-弗蘭克爾集合論，一直是為所有數學分支奠定嚴格實際基礎的標準。

導言

定義

簡單來說，所謂的一個集合，就是將數個物件歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。 一般來講，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認物件的匯集。構成集合的事物或物件稱作「元素」或「成員」。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。

在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：

• 族、系　通常指它的元素也是一些集合。

符號

元素通常用$a,\ b,\ c,\ d,\ x$等小寫字母來表示；而集合通常用$\mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X}$等大寫字母來表示。

當元素$a$屬於集合$\mathbf {A}$時，記作$a\in \mathbf {A}$。

當元素$a$不屬於集合$\mathbf {A}$時，記作$a\not \in \mathbf {A}$。

如果$\mathbf {A,\ B}$兩個集合所包含的元素完全一樣，則二者相等，寫作$\mathbf {A=B}$

集合的特性

無序性：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。

• 集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。（參見序理論）

互異性：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。

• 有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

確定性：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。

集合的表示

• 集合可以用文字或數學符號描述，稱為描述法，比如：

$A=$大於零的前三個自然數

$B=$光的三原色和白色

• 集合的另一種表示方法是在大括號中列出其元素，稱為列舉法，比如：

$C=\left\{1,2,3\right\}$

$D=\{$紅色$,$藍色$,$綠色$,$白色$\}$

儘管兩個集合有不同的表示，它們仍可能是相同的。比如：上述集合中，$A=C$而$B=D$，因為它們正好有相同的元素。

元素列出的順序不同，或者元素列表中有重複，都和集合相同與否沒有關係。比如：這三個集合$\left\{2,4\right\}$，$\left\{4,2\right\}$和$\left\{2,2,4,2\right\}$是相同的，因為它們有相同的元素。

• 集合在不嚴格的意義下也可以通過草圖來表示，更多資訊，請見文氏圖。

集合間的關係

子集與包含關係

主條目：子集

B的子集A

定義

集合$A$、$B$，若$\forall a\in A$，有$a\in B\therefore A\subseteq B$。則稱$A$是$B$的子集，亦稱$A$包含於$B$，或$B$包含$A$，記作$A\subseteq B$或$B\supseteq A$，否則稱$A$不是$B$的子集，記作$A\nsubseteq B$或$B\nsupseteq A$。

若$A\subseteq B$，且$A\neq B$，則稱$A$是$B$的真子集，亦稱$A$真包含於$B$，或$B$真包含$A$，記作$A\subsetneqq B$或$B\supsetneqq A$（有時也記作$A\subset B$或$B\supset A$）。

基本性質

• 包含關係「$\subseteq$」是集合間的一個非嚴格偏序關係，因為它有如下性質：
  • 自反性：$\forall$集合$S$，$S\subseteq S$；（任何集合都是其本身的子集）
  • 反對稱性：$A\subseteq B$且$B\subseteq A\Leftrightarrow A=B$；（這是證明兩集合相等的常用手段之一）
  • 遞移性：$A\subseteq B$且$B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$；
• 真包含關係「$\subsetneqq$」是集合間的一個嚴格偏序關係，因為它有如下性質：
  • 反自反性：$\forall$集合$S$，$S\subsetneqq S$都不成立；
  • 非對稱性：$A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A$不成立；反之亦然；
  • 遞移性：$A\subsetneqq B$且$B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C$；
• 顯然，包含關係，真包含關係定義了集合間的偏序關係。而$\varnothing$是這個偏序關係的最小元素，即：$\forall$集合$S$，$\varnothing \subseteq S$；且若$S\neq \varnothing$，則$\varnothing \subsetneqq S$，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

舉例

• 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
• 所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。
• $\left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}$
• $\left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}$

集合的運算

併

主條目：併集

兩個集合可以相"加"。$A$和$B$的併集是將$A$和$B$的元素放到一起構成的新集合。

定義

給定集合$A$，$B$，定義運算$\cup$如下：$A\cup B=\{e|e\in A$或$e\in B\}$。$A\cup B$稱為$A$和$B$的併集。

A 和 B 的併集

示例

• $\{1,2\}\cup \{$紅色$,$白色$\}=\{1,2,$紅色$,$白色$\}$
• $\{1,2,$綠色$\}\cup \{$紅色$,$白色$,$綠色$\}=\{1,2,$紅色$,$白色$,$綠色$\}$
• $\left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}$

基本性質

作為集合間的二元運算，$\cup$運算具有以下性質。

• 交換律：$A\cup B=B\cup A$；
• 結合律：$\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$；
• 冪等律：$A\cup A=A$；
• 單位元素：$\forall$集合$A$，$A\cup \varnothing =A$；（$\varnothing$是$\cup$運算的單位元素）。

交

主條目：交集

一個新的集合也可以通過兩個集合均有的元素來構造。$A$和$B$的交集，寫作$A\cap B$，是既屬於$A$的、又屬於$B$的所有元素組成的集合。

若$A\cap B=\varnothing$，則$A$和$B$稱作不相交。

A 和 B 的交集

定義

給定集合$A$、$B$，定義運算$\cap$如下：$A\cap B=\{e|e\in A$且$e\in B\}$。$A\cap B$稱為$A$和$B$的交集。

基本性質

作為集合間的二元運算，$\cap$運算具有以下性質。

• 交換律：$A\cap B=B\cap A$；
• 結合律：$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$；
• 冪等律：$A\cap A=A$；
• 空集合：$\forall$集合$A$，$A\cap \varnothing =\varnothing$；（$\varnothing$是$\cap$運算的空集合）。

其它性質還有：

• $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

示例

• $\{1,2\}\cap \{$紅色$,$白色$\}=\varnothing$
• $\{1,2,$綠色$\}\cap \{$紅色$,$白色$,$綠色$\}=\{$綠色$\}$
• $\{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}$

補集

主條目：差集

兩個集合也可以相"減"。$A$在$B$中的相對補集，國際上通常寫作 $B\setminus A$，中文教材中有時也會寫作$B-A$。表示屬於$B$的、但不屬於$A$的所有元素組成的集合。

在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集$U$的子集。這樣， $U-A$稱作$A$的絕對補集，或簡稱補集（餘集），寫作$A'$或$\complement _{U}A$。

相對補集 A - B

補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作差集。

定義

給定集合$A$，$B$，定義運算-如下：$A-B=\{e|e\in A$且$e\not \in B\}$。$A-B$稱為$B$對於$A$的差集，相對補集或相對餘集。

在上下文確定了全集$U$時，對於$U$的某個子集$A$，一般稱$U-A$為$A$（對於$U$）的補集或余集，通常記為$A'$或${\bar {A}}$，也有記為$A^{\text{c}}$, $A'$, $\complement _{U}A$，以及$\complement A$的。

基本性質

作為集合間的二元運算，- 運算有如下基本性質：

• $A-A=\varnothing$；
• 右單位元素：$\forall$集合$A$，$A-\varnothing =A$；（$\varnothing$是$-$運算的右單位元素）。
• 左零元素：$\forall$集合$A$，$\varnothing -A=\varnothing$；（$\varnothing$是$-$運算的左零元素）。

示例

• $\{1,2\}-\{$紅色$,$白色$\}=\{1,2\}$
• $\{1,2,$綠色$\}-\{$紅色$,$白色$,$綠色$\}=\{1,2\}$
• $\{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing$
• 若$U$是整數集，則奇數的補集是偶數

對稱差

主條目：對稱差

定義

給定集合$A$，$B$，定義對稱差運算$\vartriangle$如下：$A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)$。

基本性質

作為集合間的二元運算，$\vartriangle$運算具有如下基本性質：

• 交換律：$A\vartriangle B=B\vartriangle A$；
• 結合律：$(A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)$；
• 單位元素：$\forall$集合$A$，$A\vartriangle \varnothing =A$；（$\varnothing$是$\vartriangle$運算的單位元素）。
• 反元素：$A\vartriangle A=\varnothing$；

運算性質

集合的運算除了以上情況之外，集合間還具有以下運算性質：

• 分配律:

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

• 對偶律:

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

集合的元素個數

主條目：基數 (數學)

上述每一個集合都有確定的元素個數；比如：集合 A 有三個元素、而集合 B 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法: $\operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}$。

集合可以沒有元素。這樣的集合叫做空集，用 $\{\}$ 或符號$\varnothing$表示。比如：集合$A$是2004年所有住在月球上的人，它沒有元素，則$A=\varnothing$。在數學上，空集非常重要。更多資訊請參閱空集。

如果集合只含有限個元素，那麼這個集合可以稱為有限集合。

集合也可以有無窮多個元素，這樣的集合稱為無限集合。比如：自然數集便是無限集合。關於無窮大和集合的大小的其他資訊請見集合的勢。

公理化集合論

主條目：公理化集合論

若把集合看作「符合任意特定性質的一堆東西」，會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論，數學家提出公理化集合論。在公理集合論中，集合是一個不加定義的概念。

類

在更深層的公理化數學中，集合僅僅是一種特殊的類，是「良性類」，是能夠成為其它類的元素的類。

類區分為兩種：一種是可以順利進行類運算的「良性類」，我們把這種「良性類」稱為集合；另一種是要限制運算的「本性類」，對於本性類，類運算並不是都能進行的。

定義 類A如果滿足條件「$\exists B(A\in B)$」，則稱類A為一個集合(簡稱為集)，記為$\operatorname {Set} (A)$。否則稱為本性類。

這說明，一個集合可以作為其它類的元素，但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為「本性類是最高層次的類」。

參見

• 公理化數學
• 類的理論
• 集合代數

參考文獻

• Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
• Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.