索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理

索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理, Sokhotski–Plemelj formula,[1]魏爾斯特拉斯定理(勿與其他同名魏爾斯特拉斯定理混淆)是複分析中的一個定理,用於計算很多問題中出現的柯西主值。物理學問題中很多見,但鮮有其命名的引用。該定理源自Julian Sokhotski, Karl WeierstrassJosip Plemelj

定理陳述

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ƒ為定義在實數軸上的連續函數ab為實常數,滿足a < 0 < b。則

 

其中 表示柯西主值

定理證明

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簡單證明如下:

 

注意到第一項  狄拉克δ函數之先趨函數,在此極限下趨近狄拉克δ函數。 因此第一項等於  .

第二項,注意到因子在當 |x| >> ε時, 趨近於1;當|x| << ε時趨近於0並關於零對稱。 因此極限下為柯西主值積分。

物理應用

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量子力學量子場論中,經常需要計算如下形式的積分:

 

其中E為能量,t為時間。 上式對時間積分不收斂,因此一般需為t加入一個負的常係數,然後再令其趨於0。

 
 

其中最後一步用到了該定理。

等離子體物理中,推導朗道阻尼的過程中使用到該定理,從而揭示了波在無碰撞過程中亦存在阻尼現象。

參考文獻

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  1. ^ Blanchard, Philippe; Brüning, Erwin. Mathematical Methods in Physics. Boston: Birkhauser. 2003. ISBN 0817642285.  Example 3.3.1 4.

提及該定理名稱的引用

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