有限體積法( 英文:finite volume method )是一種以數值方法偏微分方程的計算方式[1]。 在有限體積法中,將要描述的物理實體切分為網格單元來描述,並使用發散定理,將所有包含發散項的偏微分方程中的體積積分轉換為表面積分。然後將每個網格的項加總,便成為每個有限體積表面的通量。因為進入給定體積的通量與離開相鄰體積的通量相同,所以這些方法是守恆的。該方法用於許多計算流體動力學軟件。

有限體積法常被拿來與有限元素分析做比較,後者使用節點值來近似導數,或者使用有限元方法來使用局部數值來逼近解的局部近似值,並通過將它們加總在一起來形成全域近似值。另一方面,有限體積法會計算某個體積中的網格解之平均,然後使用此平均值來決定單元內解的近似值[2][3]

舉例

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一維平流問題:

 

 在這裏代表狀態變量,  代表的通量流量  。習慣上, 正值代表向右流動,而 負值代表向左流動。如果假設式(1)表示恆定面積的流動介質,則可以空間域   ,細分為數個網格單元以每個網格單元所佔的有限體積以 作為標記 。對於特定的單元  ,我們可以定義該體積某物理量( 壓力、溫度等 )之通量流量平均值 在時間   ,如式(2)

 

而在時間 時式(2)可寫為:

 

此處  分別代表上游和下游面或網格單元的交界面位置 

將式(1)積分,可得:

 

 

為了得到在時間  的有限體積平均值 ,在此積分位於整個有限體積的所有網格的流量 ,並 並將計算結果除以  ,即可得:

 

我們可以逆向積分的順序。同樣,請記住,流量垂直於單元的表面。現在,因為一維  ,我們可以應用散度定理,即  ,並用的值代替散度的體積積分 在網格單元表面計算(某單元與其他單元之前後交界面   )的有限體積如下:

 

 

因此,對於上述問題,我們可以得出一個半離散的數值格式,其單元中心的索引為  ,且單元交界面通量的索引為  ,通過對時間對式(6)進行微分,可得:

 

通過某單元交界面通量的值 可以通過對單元平均值進行內插外推來獲得。式(7)對於該有限體積的平均值是精確的,因為在推導過程中未進行任何近似。

該方法也可以應用於2D形況,只要同時考慮單元四周交界面,北面、南面、東面和西面即可。

一般守恆法則

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我們還可以考慮以下PDE代表的一般守恆定律問題,

 

此處  代表狀態向量 代表相應的通量張量。同樣,我們可以將空間域細分為有限體積的網格單元。對於特定的網格單元  ,將體積積分乘以單元的總體積   , 如式(9)。

 

將第一項積分可得體積平均值然後將散度定理應用於第二項,可得:

 

此處 代表單元的總表面積,  是垂直於表面並指向外的單位向量。最後,可得一般結果如式(11)。

 

同樣的,可以通過對單元平均值進行內插或外推來重建交界面通量的值。實際的數值將取決於問題的幾何形狀和軮格結構。

有限體積方案是守恆的,因為單元平均會通過交界面通量而變化。換句話說,某個單元所損失的物理量,必定會通過交界面而被另一單元所獲得!

相關文獻

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  • Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R.英語Raphaèle Herbin (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
  • Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
  • LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
  • Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
  • Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

參考資料

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  1. ^ LeVeque, Randall. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. 2002 [2020-12-23]. ISBN 9780511791253. (原始內容存檔於2020-10-23). 
  2. ^ Fallah, N. A.; Bailey, C.; Cross, M.; Taylor, G. A. Comparison of finite element and finite volume methods application in geometrically nonlinear stress analysis. Applied Mathematical Modelling. 2000-06-01, 24 (7): 439–455. ISSN 0307-904X. doi:10.1016/S0307-904X(99)00047-5 (英語). 
  3. ^ Ranganayakulu, C. (Chennu). Chapter 3, Section 3.1. Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach. Seetharamu, K. N. Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487. 

外部連結

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