史特姆定理是一個用於決定多項式的不同實根的個數的方法。這個方法是以雅克·夏爾·法蘭斯瓦·史特姆命名的。

史特姆定理與代數基本定理的一個區別是,代數基本定理是關於多項式的實根或複根的個數,把重根也計算在內,而史特姆定理則只涉及實根,且不把重根計算在內。

標準史特姆序列

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我們首先從以下不含重根的多項式構造一個史特姆序列:

 

標準史特姆序列是把多項式長除法應用於 和它的導數 時,所得到的中間結果的序列。

標準史特姆序列由以下公式計算:

 

也就是說,序列中每一項都是前兩項相除所得的餘數,並將其變號。由於當 時, ,因此這個序列最終要停止。最後一個多項式, ,就是 和它的導數的最大公因式。由於 沒有重根,因此 是一個常數。於是,標準史特姆序列為:

 

表述

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 為以下序列中符號變化的次數(零不計算在內):

 

其中 是不含重根的多項式。於是,史特姆定理說明,對於兩個實數 ,開區間 中的不同根的個數為 

應用

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通過恰當選擇 ,這個定理可以用來計算多項式的實根的總個數。例如,柯西發現的一個定理說明,系數為 的多項式的所有實根都在區間 內,其中:

 

除此以外,我們還可以利用下列事實:對於很大的正數 ,以下多項式的符號

 

 ,而 則是 

用這種方法,僅僅計算史特姆序列中首項系數的符號變化,就可以得出多項式的不同實根的個數。

通過史特姆定理的幫助,我們還可以決定某個給定根(例如 )是幾重根。確實,假設我們知道  內,且 。那麼,  重根正好當   重根時(這是因為它是 和它的導數的最大公因式)。

一般的史特姆序列

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  上的史特姆序列,是實系數多項式   的一個有限序列 ,使得:

  1.    上沒有根
  2.  
  3. 如果對於 ,那麼 
  4. 若對於  ,則存在 ,使得  時,   

我們可以驗證每一個標準史特姆序列確實是如上定義的史特姆序列。

相關條目

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參考資料

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  • D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

外部連結

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