拉普拉斯分佈

在機率論與統計學中，拉普拉斯分佈 (Laplace distribution) 是以皮耶爾-西蒙·拉普拉斯的名字命名的一種連續機率分佈。由於它可看作兩平移指數分佈背靠背拼接在一起，因此又稱雙指數分佈 (Double exponential distribution)。兩個相互獨立同機率分佈指數隨機變量之間的差別是按照指數分佈的隨機時間布朗運動，所以它遵循拉普拉斯分佈。

拉普拉斯分佈

機率密度函數
累積分佈函數
參數	$\mu \,$ 位置參數（實數） $b>0\,$ 尺度參數（實數）
值域	$x\in (-\infty ;+\infty )\,$
機率密度函數	${\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,$
累積分佈函數	參見正文部分
期望值	$\mu \,$
中位數	$\mu \,$
眾數	$\mu \,$
變異數	$2\,b^{2}$
偏度	$0\,$
峰度	$3\,$
熵	$1+\ln(2\,b)$
動差母函數	${\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!$ for $|t|<1/b\,$
特徵函數	${\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!$

機率分佈、機率密度以及分位數函數

如果隨機變量的機率密度函數分佈為

$f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!$

$={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.$

那麼它就是拉普拉斯分佈。其中，μ 是位置參數，b > 0 是尺度參數。如果 μ = 0，b=1, 那麼，正半部分恰好是1/2倍 λ = 1的指數分佈。

拉普拉斯分佈的機率密度函數讓我們聯想到正態分佈，但是，正態分佈是用相對於 μ 平均值的差的平方來表示，而拉普拉斯機率密度用相對於平均值的差的絕對值來表示。因此，拉普拉斯分佈的尾部比正態分佈更加平坦。

根據絕對值函數，如果將一個拉普拉斯分佈分成兩個對稱的情形，那麼很容易對拉普拉斯分佈進行積分。它的累積分佈函數為：

$F(x)\,$	$=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u$
	$=\left\{{\begin{matrix}&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]1-\!\!\!\!&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.$
	$=0.5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))]$

逆累積分佈函數為

$F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|)$

生成拉普拉斯變量

已知區間 (-1/2, 1/2] 中均勻分佈上的隨機變量 U，隨機變量

$X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)$

為參數 μ 與 b 的拉普拉斯分佈。根據上面的逆累計分佈函數可以得到這樣的結果。

當兩個相互獨立同分佈指數(1/b)變化的時候也可以得到 Laplace(0, b) 變量。同樣，當兩個相互獨立同分佈一致變量的比值變化的時候也可以得到 Laplace(0, 1) 變量。

相關分佈

• 如果 $Y=|X-\mu |$ 並且 $X\sim \mathrm {Laplace}$，則 $Y\sim \mathrm {Exponential}$ 是指數分佈。
• 如果 $Y=X_{1}-X_{2}$ 與 $X_{1},\,X_{2}\sim \mathrm {Exponential}$，則 $Y\sim \mathrm {Laplace}$。

統計推論

參數估計

給定N個獨立同分佈的樣本$x_{1},x_{2},...,x_{N}$，$\mu$的極大似然估計${\hat {\mu }}$為樣本的中位數，$b$的極大似然估計${\hat {b}}$為樣本與樣本中位數${\hat {\mu }}$的平均絕對偏差，即

${\hat {b}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left\vert x_{i}-{\hat {\mu }}\right\vert$

（揭示了拉普拉斯分佈和最小絕對偏差（LAD）之間的聯繫）。

在迴歸分析中，如果誤差具有拉普拉斯分佈，則最小絕對偏差估計（LADE）將作為最大似然估計（MLE）出現。