數學中,龐加萊度量Poincaré metric),以昂利·龐加萊命名,描述了一個常負曲率二維曲面的度量張量。它是雙曲幾何黎曼曲面中廣為使用的自然度量。

在二維雙曲幾何中有三種廣泛使用的等價表述。其中一個是龐加萊半平面模型,在上半平面上定義一個雙曲空間模型。龐加萊圓盤模型單位圓盤上定義了一個雙曲空間模型。圓盤與上半平面通過一個共形映射聯繫,等距莫比烏斯變換給出。第三個表述是在穿孔圓盤上,通常表示為與 q-類似Q-analog)的關係,這種形式不同於前兩種。

黎曼曲面上的度量概要

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複平面上的度量可寫成一般形式

 

這裏 λ 是 z  的一個正函數。複平面上曲線 γ 的長度為

 

複平面上子集 M 之面積是

 

這裏   是用於構造體積形式外積。度量的行列式等於  ,故而行列式的平方根是  。複平面上的歐幾里得體積形式為  ,從而我們有

 

函數   稱為度量的勢能potential of the metric),如果

 

拉普拉斯–貝爾特拉米算子

 

度量的高斯曲率

 

給出,這個曲率是里奇數量曲率的一半。

等距保持角度與弧長。在黎曼曲面上,等距與坐標變換等價:即拉普拉斯-貝爾特拉米算子與曲率在等距下不變。從而,比如設 S 是一個黎曼曲面帶有度量  T 是帶有度量   的黎曼曲面,則映射

 

以及   是等距若且唯若它是共形的以及

 

在這裏,映射為共形的也就是條件

 

 

龐加萊平面上的度量與體積元

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龐加萊半平面模型上半平面 H龐加萊度量張量

 

這裏我們記  。這個度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。這就是,如果我們記

 

 ,則我們可算得

 

 

無窮小變換為

 

從而

 

這樣便清楚地表明度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。

不變體積元素

 

  度量為

 
 


度量的另一個有用的形式是用交比給出。給定緊化複平面   上任意四點   ,交比定義為

 

那麼度量用交比表示為

 

這裏    是端點,位於實數軸上,測地線連接   。這些點是有順序的故   位於    之間。

這個度量張量的測地線是在兩個端點處垂直於實軸的圓弧(的一段),即端點位於實軸的上半圓周。

從平面到圓盤的共形映射

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上半平面可以共形地映到單位圓盤,用莫比烏斯變換

 

這裏單位圓盤上的點 w 對應於上半平面上的點 z。在這個映射中,常數 z0 可取上半平面上任何一點;這個點將映為圓盤的中心。實數軸   映為單位圓盤的邊界  。實常數   將圓盤旋轉任意一個角度。

典範映射是

 

i 映為圓盤的中心,0 映為圓盤的最低點。

龐加萊圓盤上的度量與體積元素

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龐加萊圓盤模型里的龐加萊度量張量單位圓盤   上為

 

體積形式為

 

  的龐加萊度量為

 

這個度量張量的測地線是在端點處正交於圓盤邊界的圓弧。

穿孔圓盤模型

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穿孔圓盤坐標上的 J-不變量J-invariant);這是 nome 的一個函數。
 
龐加萊圓盤坐標上的 J-不變量;注意這個圓盤比文中給出的典範坐標旋轉了90度。

第二個將上半平面映成圓盤q-映射

 

這裏 qnomeNome), 半周期比例half-period ratio)。在上一節的記號中,  是上半平面   的坐標。這個映射映到穿孔圓盤,因為值 q=0 不在映射的中。

上半平面的龐加萊度量在 q-圓盤上誘導一個度量

 

度量的勢能是

 

施瓦茨引理

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龐加萊度量在調和函數距離減小。這是施瓦茨引理的一個推廣,稱為施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理Schwarz-Alhfors-Pick theorem)。

另見

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引用

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  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
  • Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)