導子(英語:derivation)在抽象代數中是指代數上的一個函數,推廣了導數算子的某些特徵。明確地,給定一個環或 k 上一個代數 A,一個 k-導子是一個 k-線性映射 DA → A,滿足萊布尼茲法則

更一般地,從 A 映到 A- M 的一個 k-線性映射 D,滿足萊布尼茲法則也稱為一個導子。A 所有到自身的 k-導子集合記為 Derk(A)。從 AA-模 M 的所有 k-導子集合記為 Derk(A,M)。

導子在不同的數學領域以許多不同的面貌出現。關於一個變量的偏導數Rn 上實值可微函數組成的代數上的一個 R-導子。關於一個向量場李導數可微流形上可微函數代數上的 R-導子;更一般地,它是流形上張量代數的導子。平徹爾導數英語Pincherle derivative是一個抽象代數上的導子的例子。如果代數 A 非交換,則關於 A 中一個元素的交換子定義了 A 到自身的線性映射,這是 A 的一個 k-導子。一個代數 A 裝備一個特定的導子 d 組成了一個微分代數,這自身便是一些研究領域的一個重要對象,比如微分伽羅瓦理論

性質

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萊布尼茲法則本身有一系列直接推論。首先,如果 x1, x2, … ,xnA,那麼由數學歸納法得出

 

特別地,如果 A 可交換且 x1=x2=…=xn,那麼此公式簡化成熟悉的冪法則 D(xn) = nxn-1D(x)。如果 A 是有單位的,則 D(1) = 0 因為 D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1)。從而,因 D 是 k-線性的,推出對所有 x∈k 有 D(x)=0。如果 kK 是一個子環A 是一個 K-代數,則有包含關係

 

因為任何 K-導子當然是一個 k-導子。

AMk-導子的集合,Derk(A,M) 是 k-上的一個。而且,k-模 Derk(A) 組成了一個李代數李括號定義為交換子

 

容易驗證兩個導子的李括號仍然是一個導子。

分次導子

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如果我們有一個分次代數 ADA 上一個階數 d = |D| 的齊次線性映射,則 D 是一個齊次導子如果

  作用在 A 的齊次元素上。一個分次導子是具有相同 ε 的一些齊次導子的和。

如果交換因子 ε = 1,定義變為通常情形;如果 ε = -1,那麼對奇數 |D| 有 ,它們稱為反導子

反導子的例子包含作用在微分形式上的外導數內乘

超代數(即:Z2-分次代數)的分次導子經常稱為超導子

另見

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參考文獻

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