定向 (向量空間)

數學中,向量空間的一個定向Orientation)是對哪些有序是「正」定向以及哪些是「負」定向的一個選取。在三維歐幾里得空間中,兩個可能的基本定向分別稱為右手系與左手系。但是定向的選取與基的手征性是獨立的(儘管右手基典型地選為正定向,但它們也可規定為負定向)。

定義

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V 是一個實向量空間,b1b2V 的兩個有序基。線性代數中一個標準結論說存在惟一一個線性轉換 A : VV,將 b1 變為 b2。如果 A行列式為正,則稱基 b1b2 有相同定向(或一致定向);不然它們有相反的定向。有相同定向的性質在 V 的所有有序基上定義了一個等價關係。如果 V 非零,恰好存在兩個由這個等價關係決定的等價類V 上一個定向是將其中一類置為 +1 而另一類為 -1 的一個規定。

每個有序基在一個等價類之中。故選取 V 的一個有序基決定了一個定向:選取的這個基的定向類規定為正的。例如:Rn 上的標準基在 Rn 上給出了一個標準定向VRn 之間選取一個線性同構可給出 V 的一個定向。

基中元素的順序是關鍵。順序不同的兩個基可差某個置換。它們可能有相同或相反的定向,取決於這個置換的符號 ±1。這是因為置換矩陣的行列式等於相應置換的符號。

零維

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上面定義的定向概念對零維向量空間只有一個定向(因為空矩陣的行列式是 1)。但是對一個點規定不同的定向可能是有用的(例如,定向一維流形的邊界)。定向的另一個與維數無關的定義如下:V 的一個定向是從 V 的有序基集合到集合   的映射,使得在正行列式基變更下不變而在負行列式基變更下給變符號(關於同態   等變)。零維向量空間的有序基有一個元素(空集),從而從這個集合到   有兩個映射。

一個微妙之處在於零維向量空間是自然定向的,所以我們可以談論一個定向是正的(與典範定向相同)或負的(不同)。一個應用是將微積分基本定理理解為斯托克斯定理的一個特例。

對此的兩種看法是:

  • 零維向量空間是一個點,存在惟一映射從一個點到一個點,所以每個零維向量空間自然與   等價,從而是定向的。
  • 一個向量空間的 0 次外冪是底域  ,在這裏是  ,它有一個定向(由標準基給出)。

其它觀點

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多重線性代數

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對任意 n-維實向量空間 V,我們可構造 Vk-次外冪,記作 ΛkV。這是一個維數為 (n,k) 的向量空間。故向量空間 ΛnV (稱為最高外冪)的維數為 1。即 ΛnV 就是實直線。這條直線上沒有先天的選取哪個方向是正的。一個定向就是這樣一個選取。任何非零線性形式 ω on ΛnV 決定了 V 的一個定向,當 ω(x) > 0 時規定 x 是正定向的。為了與基本的看法聯繫起來,我們說正定向基是那些 ω 取正數的(因為 ω 是一個 n-形式,我們可在 n 個向量的有序基上取值,給出 R 中一個元素)。形式 ω 稱為一個定向形式orientation form)。如果 {ei} 是 V 先給定的基而 {ei*} 是對偶基,則給出標準定向的定向形式是 e1*e2*∧…∧en*

這與行列式觀點的聯繫是:一個自同構   的行列式可解釋為在最高外冪上的誘導作用。

李群論

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BV 的所有有序基集合。則一般線性群 GL(V) 自由遞移作用B 上(花哨的語言,B 是一個 GL(V)-torsor)。這意味着作為一個流形 B (非典範地)同構於 GL(V)。注意到群 GL(V) 不是連通的,而有兩個連通分支,對于于轉換的行列式的正負號(除了 GL0,這是平凡群故只有一個連通分支;這對應於一個零維向量空間的典範定向)。GL(V) 的單位分支記作 GL+(V),由所有正行列式的轉換組成。GL+(V) 在 B 上的作用不是遞移的:有兩個軌道,分別對應於 B 的連通分支。這兩個軌道恰是上面所說的等價類。因為 B 沒有特定的元素(即一個特別的基),故沒有自然選取哪個分支是正的。將其與 GL(V) 對比,後者有一個特別的分支:單位分支。B 與 GL(V) 之間選取一個特別的同胚等價於選取一個特別的基,從而決定了一個定向。

更形式地:  n-標架的斯蒂弗爾流形Stiefel manifold英語Stiefel manifold)是一個  -torsor,所以    上一個 torsor,即它是兩個點,選取其中一個便是一個定向。

流形上的定向

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我們也可以討論流形上的定向。n-維可微流形 M 上每一點 p 有一個切空間 TpM,這是一個 n-維實向量空間。每個這樣的向量空間可規定一個定向。但是我們想知道是否可以選取定向使得它們從點到點「光滑變化」。由於某些拓撲限制,僅在某些情形才有可能。若在切空間上存在一個光滑定向,則該流形稱為可定向的。關於流形的定向,參見可定向性一文。

相關條目

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