同倫

拓樸學中描述連續地形變的函數

同倫(英語:Homotopic[註 1])在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。兩個定義在拓撲空間之間的連續函數,如果其中一個能「連續地形變」為另一個,則這兩個函數稱為同倫的。這樣的形變稱為兩個函數之間的同倫。同倫的一個重要的應用是同倫群餘倫群英語Cohomotopy group的定義,它們是代數拓撲中重要的不變量英語Invariant (mathematics)

圖中的兩條虛線相對於它們的端點是同倫的。動畫表示了一種可能的同倫。

事實上,在特定的空間中應用同倫還有一些技術上的困難。代數拓撲學家一般使用緊生成空間CW複形英語Spectrum_(topology)

定義

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兩個將環面映射到R3嵌入之間的同倫:「咖啡杯的表面」與「甜甜圈的表面」。這也是一個同痕的例子。

給定兩個拓撲空間   。考慮兩個連續函數  ,若存在一個定義在空間 X單位區間 [0,1] 的積空間上的連續映射   使得:

  •  
  •  

則稱  之間的一個同倫[1]:183

如果我們將 H 的第二個參數當作時間,這樣 H 相當於描述了一個從 fg連續形變:0 時刻我們得到函數f,1 時刻我們得到函數 g。 我們也可以將第二個參數視作一個可以滑動的「控制條」,當控制條從0滑動至1時,函數 f 平滑地轉變為函數 g,反之亦然。

另一種觀點是:對每個 ,函數   定義一條連接   的路徑:

 

右側的循環動畫展示了兩個嵌入R3中的環面之間的同倫。X 是環面,YR3f,g 是從環面到 R3的連續函數,當動畫開始時,f 把環面映射為嵌入的甜甜圈的表面。g 把環面映射為嵌入的咖啡杯表面。動畫展示了ht(x)作為時間的函數時的圖像。每一次循環中,時間 t 從 0 變成 1,暫停一會,又從 1 變成 0。

性質

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當且僅當存在同倫 Hf 轉換為 g時,稱連續函數 fg 是同倫的。同倫是 XY 上所有的連續函數之間的一種等價關係[1]:184。以下情形中,同倫關係滿足函數的複合

如果 f1, g1 : XY 是同倫的,並且 f2, g2 : YZ 是同倫的,則他們的複合 f2f1g2g1 : XZ 也是同倫的。

例子

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例一:取  ,  ,   。則   透過下述函數在   中同倫。

 
(注意到此例子不依賴於變數  ,通常並非如此。)
:「在 中同倫」的說法提示一個重點:在例一中若將 代為子空間 ,則雖然  仍取值在 ,但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。


例二:取 , ,  。則 描繪一個以原點為圓心的單位圓;  停在原點。   透過下述連續函數同倫:

 
幾何上來看,對每個值 ,函數 描繪一個以原點為圓心,半徑   的圓。

相對同倫

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為定義高階基本群,必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化,正式定義是:設 是連續函數,固定子空間  ;若存在前述同倫映射  ,滿足:

  •  
  •  

則稱   相對於   同倫。若取  ,則回到原先的同倫定義。

空間的同倫等價

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給定兩個拓撲空間  ,我們稱之同倫等價(或稱具相同倫型),當且僅當存在兩個連續映射  ,使得:

  •   同倫到   的恆等映射  
  •   同倫到   的恆等映射  

同胚蘊含同倫,反之則不然,詳見以下例子:

例三

  • 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到 ,即去掉一點的平面。
  • 線段 、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價,它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裏的性質均在同倫等價下不變,包括有:單連通同調群上同調群等等。

同痕

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同痕(Isotopy)是同倫的加細版;我們進一步要求所論的函數  嵌入,並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義如此:  被稱為同痕的,當且僅當存在連續映射 使之滿足:

  •  
  •  
  • 對所有 ,映射 是個嵌入映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要:若兩個結同痕,則我們視之相等;換言之,可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

註釋

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  1. ^ 源自希臘語ὁμός homós,意為「相同,相似的」與希臘語τόπος tópos,意為「方位」

參考

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  1. ^ 1.0 1.1 Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 機械工業出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114. 

參見

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