假設 φ : MN 是光滑流形之間的光滑映射;則 φ 在一點 x 處的微分在某種意義上是 φx 附近的最佳線性逼近。這可以視為通常微積分中全導數的推廣。確切地說,它是從 Mx 處的切空間Nφ(x) 處的切空間的一個線性映射,從而可以將 M 的切向量「前推」成 N 的切向量。

映射 φ 的微分也被一些的作者稱為 φ導數全導數,有時它自己也之稱為前推pushforward)。

動機

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φ:UV 是從 Rm 的一個開集 URn 的開集 V 的一個光滑映射。對任何 U 中的給定點 xφx雅可比矩陣(關於標準坐標)是 φx全微分矩陣表示,這是一個從 RmRn 的線性映射:

 

我們希望將其推廣到 φ 是「任何」兩個光滑流形 MN 之間的光滑映射。

光滑映射的微分

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φ : MN 是光滑流形間的光滑映射。給定某點 xMφx微分(全)導數是從 Mx切空間Nφ(x) 的切空間一個線性映射

 

映射 dφx 運用到切向量 X 上有時稱為 Xφ前推。前推的確切定義取決於我們怎樣定義切向量(不同的定義可參見切空間)。

如果我們定義切向量為通過 x 的曲線等價類,那麼微分由

 

給出,這裏 γM 上滿足 γ(0) = x 的一條曲線。換句話說,一條曲線 γ 在 0 處切向量的前推恰好是 φ γ 在 0 處的切向量。

另一種方式,如果切向量定義為作用在光滑實值函數上的導子,那麼微分由

 

給出,這裏 XTxM,從而 X 是定義在 M 上的一個導子而 fN 上一個光滑實值函數。根據定義,在給定 MxX 的前推在 Tφ(x)N 中,從而定義了一個N上的導子。

取定 xφ(x) 附近的坐標卡以後,F 局部由 RmRn 之間的光滑映射

 

確定。而 dφx 具有表示(在 x 附近):

 

這裏使用了愛因斯坦求和約定,偏導數對 x 坐標卡相應的 U 中的點取值。

線性擴張得到如下矩陣

 

從而光滑映射 φ 在每一點的微分是切空間之間的一個線性變換。從而在某些選定的局部坐標下,它表示為相應的從 RmRn 光滑映射的雅可比矩陣。一般情形,微分不要求可逆。如果 φ 是一個局部微分同胚,那麼在 x 點的前推是可逆的,其逆給出 Tφ(x)N拉回

另外,局部微分同胚的微分是切空間之間的線性同構

微分經常有其他一些記法,比如

 

從定義可得出複合函數的微分便是微分的複合(即,具有函子性質),這便是光滑函數微分的鏈式法則

切叢上的微分

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光滑映射 φ 的微分以顯而易見的方式誘導了從 M切叢N 的切叢的一個叢映射(事實上是向量叢同態),記為 dφφ*,滿足如下的交換圖表

 

這裏 πMπN 分別表示 MN 切叢的叢投影。

等價地(參見叢映射),φ* = dφ 是從 TMM 上的拉回叢 φ*TN 的叢映射,這可以看成 M向量叢 Hom(TM,φ*TN) 的一個截面

向量場的前推

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給定了一個光滑映射 φ:MNM 上一個向量場 X,一般不能定義 X 通過 φ 的前推為 N 的一個向量場。譬如,如果映射 φ 不是滿射,則在 φ 的像外部沒有自然的方式定義拉回;如果 φ 不是單射也有可能在給定一點拉回不止一種選擇。無論如何,可以用「沿着映射的向量場」概念將難處變精確。

Mφ*TN 的一個截面稱為沿着 φ 的向量場。例如,如果 MN 的一個子叢而 φ 是包含映射,那麼沿着 φ 的向量場恰好是 N 沿着 M 的切叢的一個截面;特別的,M 上的向量通過 TM 包含到 TN 中定義這樣一個截面。這種想法推廣到任何光滑映射。

假設 XM 上一個向量場,即 TM 的一個截面。那麼,運用逐點微分得出 X 的前推 φ*X,這是一個沿着 φ 的向量場,即 Mφ*TN 的一個截面。

任何 N 上的向量場 Y 定義了 φ*TN 的一個拉回截面 φ*Y 使得 (φ*Y)x = Yφ(x)M 上一個向量場 XN 上一個向量場 Y 稱為 φ-相關的,如果作為沿着 φ 的向量場有 φ*X = φ*Y。換句話說,對任何 x 屬於 M,有 dφx(X)=Yφ(x)

在某些情形,給定 M 上一個向量場 XN 上只有惟一的向量場 YX φ-相關。特別地,這在 φ微分同胚時自然成立。在這種情況下,前推定義了 N 上一個向量場 Y,由

 

給出。一個更一般的情形是 φ 為滿射(比如纖維叢的叢投影)。這時 M 上的向量場 X 稱為可投影的,如果對任何 y 屬於 N, dφx(Xx) 與 x 屬於 φ-1({y}) 的取法無關。這恰好是保證 X 的前推可以作為 N 上的一個良定的向量場的條件。

參閲

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參考文獻

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  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
  • Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.