數學上,利薩茹Lissajous曲線(又稱利薩茹圖形李薩如圖形鮑迪奇Bowditch曲線)是兩個沿着互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡。

示波器上的利薩茹圖形
三維利薩茹圖形

納撒尼爾·鮑迪奇在1815年首先研究這一族曲線朱爾·利薩茹在1857年作更詳細研究。

數學定義

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利薩茹曲線由以下參數方程定義:

 

其中  

 稱為曲線的參數,是兩個正弦振動的頻率比。若比例為有理數,則 ,參數方程可以寫作:

 

其中 

性質

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  •  為無理數,曲線在長方形 稠密
  •  為有理數,
    • 曲線是 代數曲線 對奇數 ,或 對偶數 
    • 曲線是 代數曲線的一部份若 對奇數 ,或 對偶數 
  •  為偶數而 ,或若 為奇數而 ,則曲線是第 切比雪夫多項式 的曲線的一部份。

特別情況

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  •   ,則曲線是橢圓
    •  ,則這橢圓其實是
    •  ,則這橢圓其實是線段。
  •   (所以 ),則曲線是besace
    •  ,則這besace是拋物線一部份。
    •  ,則這besace是一個熱羅諾雙紐線

以下是利薩茹曲線的例子,其中  ,  是奇數, 是偶數, 

頻率比1:n和n:1的情況

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Δφ 1:1 1:2 1:3 2:1
0

 

 

 

 

¹/₄·π

 

 

 

 

¹/₂·π

 

 

 

 

³/₄·π

 

 

 

 

1·π

 

 

 

 

1¹/₄·π

 

 

 

 

1¹/₂·π

 

 

 

 

1³/₄·π

 

 

 

 

2·π

 

 

 

 

頻率比n1:n2的情況

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Δφ 2:3 Δφ 3:4
0   0  
¹/₂·¹/₄·π   ¹/₃·¹/₄·π  
¹/₂·¹/₂·π   ¹/₃·¹/₂·π  
¹/₂·³/₄·π   ¹/₃·³/₄·π  
¹/₂·π   ¹/₃·π  
5/8·π   5/12·π  
³/₄·π   ¹/₂·π  
7/8·π   7/12·π  
1·π   ²/₃·π  

演示

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鼠標懸浮在兩個數字上時,通過滾輪可以調節數字大小。


在電子學上的應用

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藉由使用利薩茹圖形可以測量出兩個信號頻率比與相位差。

外部連結

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