等角螺線、對數螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線,在極坐標系
中,這個曲線可以寫為
等角螺線
![{\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9adf3389cc8b80e5b835084045a129aa5c3ce1d)
或
![{\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ \ln \left({\frac {r}{a}}\right)\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f721c00d5c14a7f6e182ae0c160bd9988adc9c)
因此叫做「對數」螺線。
- 等角螺線的臂的距離以幾何級數遞增。
- 設 為穿過原點的任意直線,則 與等角螺線的相交的角永遠相等(故其名),而此值為 。
- 設 為以原點為圓心的任意圓,則 與等角螺線的相交的角永遠相等,而此值為 ,名為「傾斜度」
- 等角螺線是自我相似的;這即是說,等角螺線經放大後可與原圖完全相同。
- 等角螺線的漸屈線和垂足曲線都是等角螺線。
- 從原點到等角螺線的任意點上的長度有限,但由那點出發沿等角螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。這是由托里拆利發現的。
雅各布·白努利的墓碑,下方即為雕刻師誤刻的阿基米德螺線。
等角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布·白努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性,如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性,故要求死後將之刻在自己的墓碑上,並附詞「縱使改變,依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻師誤將阿基米德螺線(等速螺線)刻了上去。
鸚鵡螺的貝殼像等角螺線
旋渦星系的旋臂像等角螺線
低氣壓的外觀像等角螺線
- 在複平面上定義一個複數 ,其中 ,那麼連結 的曲線就是一條等角螺線。
- 複平面上的等角螺線
- 若 是複平面中的一條直線且不平行於實數或虛數軸,那麼指數函數 會將這些直線映像到以 0 為中心的等角螺線。
- 使用黃金矩形:
- 黃金長方形中的等角螺線
- 在平面上, 質點圍繞原點逐漸離開, 相對於原點的角速度恆定, 且相對於原點的距離以等比例增長, 則其軌跡為等角螺線。這是因為 ,則有 。