柯西-比內公式

線性代數中,柯西-比內公式Cauchy–Binet formula)將行列式的可乘性(兩個方塊矩陣的行列式等於兩個行列式的乘積)推廣到非方塊矩陣。

假設 A 是一個 m×n 矩陣,而 B 是一個 n×m 矩陣。如果 S 是 { 1, ..., n } 中具有 m 個元素的子集,我們記 ASA 中列指標位於 S 中的 m×m 子矩陣。類似地,記 BSB 中行指標位於 S 中的 m× m 子矩陣。柯西-比內公式說

這裏求遍 { 1, ..., n } 中 m 個元素的所有可能子集 S(共有 C(n,m) 個)。

如果 m = n,即 AB 是同樣大小的方塊矩陣,則只有一個容許集合 S,柯西-比內公式退化為通常行列式的可乘性。如果 m = 1 則有 n 容許集合 S,這個公式退化為點積。如果 m > n,沒有容許集合 S,行列式 det(AB) 是零(參見空和(empty sum))。

這個公式對矩陣元素取值於任何交換環都成立。證明可將 AB 的列寫成係數來自 BA 的列的線性組合,利用行列式的可乘性,將屬於一個 det(AS) 的項收集起來,並利用行列式的反對稱性。利用行列式的萊布尼茲公式,得出 det(AS) 的係數是 det(BS)。這個證明沒有利用行列式的可乘性,相反這個證明建立了它。

如果 A 是一個實 m×n 矩陣,則 det(A AT) 等於由 A 中行向量在 Rn 中張成的平行多面體 m-維體積的平方。柯西-比內公式說這等於該平行多面體在所有 m-維坐標平面(共有 C(n,m) 個)的正交投影的平行多面體的 m-維體積的平方之總和。m=1 的情形是關於一條線段的長度,這恰是畢達哥拉斯定理

柯西-比內公式可直接推廣到兩個矩陣乘積的子式的一個一般公式。該公式在子式一文給出。

如果 則柯西-比內公式給出行列式:

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