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有限單群分類

在數學中，有限單純群分類是群論中的一大成果，表明了所有有限單純群要麼是循環群，要麼是交錯群，要麼屬於一個無限類，稱為 Lie 型群，要麼是 26 個或 27 個特別類型之一，稱作散在單純群。其證明涵蓋共計上萬頁的由上百位作者撰寫的數百篇期刊文章，這些文章的發表時間跨越了從 1955 年到 2004 年近半個世紀之久。

群論


群

單純群可以被視作所有有限群的 「基本建築單元」，性質上近似質數之於整數的關係。Jordan–Hölder 定理是一個說明有限群本質的更精確的途徑。然而，和整數分解工作的一個重要區別在於，這種 「建築單元」 並不一定確定某個唯一的群，因為可能具有許多非同構群具有相同的合成群列，換言之，擴張問題並不存在唯一解。

D. E. Gorenstein (卒於1992年)、R. N. Lyons 和 R. M. Solomon 正在逐步發表簡化以及修訂版的證明。

分類定理的陳述

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關於有限單純群分類研究的最終成果如下：

定理 — 所有有限單純群都必將會和下列列表之一的群同構：

  • 下面三大類（每類均含無限個同構意義下的群）有限單純群：
  1. 質數階循環群，
  2. 5階及以上階的交錯群，
  3. Lie 型群；

這一分類定理在許多數學分支均有應用，如有限群的（及其於其他數學物件上的作用的）結構問題有時可轉化為有限單純群的問題。通過分類定理，這樣的一些問題有時可以僅僅通過檢查所有單純群族和所有散在單純群來解決。

Daniel Gorenstein 於 1983 年宣稱有限單純群業已完成分類，然而這為時過早，他被擬薄群（英語：Quasithin group）[註釋 2]的分類的證明所誤導了。在 Aschbacher 和 Smith 於 2004 年為遺漏的擬薄群情況發表了一篇長達 1221 頁的證明後，有限單純群分類工作正式宣告完成[1]。

散在單純群

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散在單純群中，有五個被 Emile Mathieu 於 19 世紀 60 年代所發現，其餘 21 個則於 1965 年 到 1975 年間陸續被找到。這其中有一部分群在它們構造出來之前就被預言存在了。這些群大部分由首個預測其存在的數學家的名字命名。完整的列表如下，其中用「或」連接的兩個名稱指稱相同物件：

  • Mathieu 群  、 、 、 、 ；
  • Janko 群  、  或  、  或  、 ；
  • Conway 群  、 、 ；
  • Fischer 群（英語：Fischer group）  、 、 或 ；
  • Higman-Sims 群（英語：Higman-Sims group）  ；
  • McLaughlin 群（英語：McLaughlin group）  ；
  • Held 群（英語：Held group）   或   或  ；
  • Rudvalis 群（英語：Rudvalis group）  ；
  • 鈴木散在群（英語：Suzuki sporadic group）   或  ；
  • O'Nan 群（英語：O'Nan group）  
  • 原田-Norton 群（英語：Harada-Norton group）   或   或  ；
  • Lyons 群  ；
  • Thompson 群（英語：Thompson group）   或   或  ；
  • 小魔群（英語：baby monster group）   或   或  ；
  • 魔群   或  。

除魔群外，所有散在單純群於有限體上的矩陣表示業已算得。

所有 26 個散在單純群中，有 20 個可看作魔群的（非正規）子群或子群的商，被 Robert Griess 稱作幸福家庭 (Happy Family)[2]。在此之外的 6 個為  、 、 、 、  和  ，被稱作賤民（英語：pariah group） (pariahs)[3][4][註釋 3]。

截至目前，在散在單純群的一個可行的統一表述方面，進展較為初步[來源請求]。

分類定理證明概覽

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Gorenstein 寫過[5][6]兩卷文章，概述了證明的低秩和奇特徵域的部分，Michael Aschbacher，Richard Lyons 以及 D. Smith等人則寫了[7]第三卷以涵蓋特徵為 2 的情形。這份證明可分為如下幾個主要部分：

小的 2-秩群

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低階的 2-秩單純群，大多數是奇特徵域上的低秩[註釋 4] Lie 型群，此外有 5 個交錯群，7個特徵 2 型群和 9 個散在群。

小 2-秩單純群有：

小 2-秩群，尤其是 2-秩至多 2 的群的分類工作，大量使用了普通特徵理論和模塊特徵理論，而這一理論幾乎從未直接用於分類工作的他處。

所有不是小 2-秩群的群可歸為兩大類：組件型群或特徵 2 型群。這是因為，對於截面 2-秩至少為 5 的群，MacWilliams 證明了其 Sylow 2-子群連通，且平衡定理蘊含任意具連通 Sylow 2-子群的單純群，或為組件型，或為特徵 2 型。[註釋 5]

組件型群

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一群為組件型群，當且僅當對某個對合的中心化子  ，  有一個組件，其中   為   的中心。這些群或多或少都是大秩奇特徵 Lie 型群、交錯群及一些散在群。這些情況下，一個重要的步驟是剔除對合中心的阻礙，這個步驟由 B-定理（英語：B-theorem）完成，其指出   的每個組件都是   的組件的像[19]。

其想法是，這些群有一個對合的中心化子，其組件為一個較小的擬單純群，不妨假設該群是通過歸納已知的。從而，為了對這些群進行分類，我們需要所有已知有限單純群的所有中心擴張，並找到所有單純群及其。這提出了相當大量不同的亟待檢查的情形：不只是有 26 個散在單純群和 16 類 Lie 型群以及交錯群需要處理，許多低階或基於小域上的群，其行為與一般情形並不相通，須特別對待，同時須說明，偶特徵和奇特徵的 Lie 型群之間也有很大不同。

特徵 2 型群

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一群為特徵 2 型群，若其每個 2-局部子群（英語：local subgroup）   的廣義擬合群（英語：fitting group）   均為 2-群。顧名思義，其大致為在特徵 2 域上的 Lie 型群，外加其讓一些交錯群、散在群或是奇特徵群。它們的分類被歸為大秩和小秩兩種情況，其中，秩指的是正規化非平凡 2-子群的奇 Abel 子群的最大秩，當群是特徵 2 Lie 型群時，通常（但不絕對）與 Cartan 子代數的秩等同。

秩 1 的群是薄群，由 Aschbacher 分類；秩 2 的群則是前文提到的擬薄群，由 Aschbacher 與 Smith 一同分類。這些大致對應着特徵 2 域上的秩 1 或 2 的 Lie 型群。

秩至少 3 的群由三分定理（英語：Trichotomy theorem）進一步地細分為三類，秩 3 的情形由 Aschbacher 完成證明[20][21]，而秩至少為 4 的情形則由 Gorenstein 和 Lyons 完成[22]。這三種類型分別是

  •   型群，主要由 Timmesfeld 分類；
  • 對於一些奇質數的 「標準型」 群，主要由 Gilman-Griess 定理（英語：Gilman-Griess Theorem）和其他一些工作完成分類[23]；
  • 唯一性類型群，根據 Aschbacher 的一個結果，其中沒有單純群。

總體而言，較高秩情形涵蓋絕大多數秩至少 3 或 4 的特徵 2 域上的 Lie 型群。

單純群存在唯一性

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分類定理的主要部分刻畫了每一個單純群的特徵，那麼現在驗證對於每個特徵總唯一存在一個單純群就尤為重要了。這拋出了大量獨立的問題，比如說，魔群存在唯一性的原始證明有着約 200 頁，Thompson 和 Bombieri 對 Ree 群（英語：Ree Group）的鑑定是分類定理最艱巨的一部分。很多存在性證明和一些散在群的唯一性證明在原始論文裏就援引了計算機輔助證明，其中的大多數現在已被更簡潔的人工證明所替代。

證明歷程

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Gorenstein 的程序化證明

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在 1972 年，Gorenstein 宣佈了一個用於完成有限單純群分類定理的程序[24]，涵蓋以下 16 個步驟：

  1. 低 2-秩群。這本質上已經由 Gorenstein 和原田完成，他們分類了 2-秩至多 4 的部分。大多 2-秩至多 2 的情形在 Gorenstein 宣佈其程序時完成。
  2. 2-層半單純群[註釋 6]。其問題是證明其單純群上的一個對合中心化子的 2-層是半單的。
  3. 奇特徵標準型。如果一個群有一個對合，其 2-組件是奇特徵 Lie 型群，目標是證明其在 「標準型」 中有一個對合中心化子，也就是一個對合中心化子同時擁有一個奇特徵 Lie 型組件和一個 2-秩 1 的中心化子。
  4. 奇型群的分類。這個問題表明，如果一個群擁有一個在 「標準型」 上對合的中心化子，那麼它是一個奇特徵 Lie 型群。這由 Aschbacher 的經典對合定理（英語：Classical involution theorem）解決[25][26][27]。
  5. 擬標準型[註釋 7]。
  6. 中心對合。
  7. 交錯群分類。
  8. 一些散在群。
  9. 薄群。僅指薄有限群（英語：Thin finite group），那些對奇質數   有 2-局部  -秩至多 1 的部分，由 Aschbacher 於1978年分類。
  10. 對於奇質數   有強  -嵌入子群的群。
  11. 對於奇質數的信號化子函子法。主要的問題在於為不可解信號化子函子（英語：Signalizer functor）證明信號化子函子定理。由 McBride 於1982 年解決。
  12. 特徵   型群。這是那些擁有奇數   階強  -嵌入 2-層子群的群的問題，由 Aschbacher 解決。
  13. 擬薄群。擬薄群是一個這樣的群，其 2-局部子群對所有奇質數   有  -秩至多 2.。其問題在於分類出那些特徵 2 型的單純群。由 Aschbacher 和 Smith 於 2004 年完成。
  14. 2-層低 3-秩群。這本質上由 Aschbacher 對於   的三分定理解決。主要的的挑戰在於，2-層 3-秩被 2-層奇素秩所替代。
  15. 標準型上的 3-元中心化子。基本上由三分定理完成。
  16. 特徵 2 型單純群的分類。由 Gilman-Griess 定理解決，其中 3-元被奇質元素所替代。

證明的時間線

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下面表格中的大部分條目來源於 Solomon (2001)。所提供的年份通常是作為結果的完整證明的發表時間，有時會遲於結果的證明或首次宣佈時間，所以其中一些條目將會以 「錯誤」 的順序出現。

年份 成果
1832 Galois 引入了正規子群，找到了單純群 An (n ≥ 5) 和  （英語：Projective linear group#Finite fields） (p ≥ 5).
1854 Cayley 定義了抽象群。
1861 Mathieu 描述了前兩個 Mathieu 群（英語：Mathieu Group） M11, M12（這是最開始被發現的單純群），並宣告了 M24 的存在。
1870 Jordan 列出了一些單純群：交錯群、射影特殊線性群（Projective Special Linear group)，指出了單純群的重要性。
1872 Sylow 證明了 Sylow定理。
1873 Mathieu 介紹了另外三個 Mathieu 群 M22，M23 以及 M24.
1892 Hölder 證明，任意非交換有限單純群的階必須是一個至少為 4 個質數的積（可重複），並且提出了有限單純群分類問題。
1893 Cole 對序數至多為 660 的單純群進行了分類。
1896 Frobenius 和 Burnside 開啟有限單純群特徵理論的研究。
1899 Burnside 對單純群進行分類，使得每個對合的中心化子均為非平凡的初等交換 2-群。
1901 Frobenius 證明，Frobenius 群（英語：Frobenius group）擁有 Frobenius 核，從而特別而言是非單的。
1901 Dickson 定義了任意有限體上的經典群，以及奇特徵域上的例外 G2 型群。
1901 Dickson 發現了例外的 E6 型有限單純群。
1904 Burnside 使用特徵理論證明了 Burnside 定理（英語：Burnside Theorem），即任意非交換有限單純群的階必至少被三個不同質數整除。
1905 Dickson 發現了偶特徵域上的 G2 特徵單純群。
1911 Burnside 提出猜想，認為任意非交換有限單純群是偶階群。
1928 Hall 證明了可解群的 Hall 子群（英語：Hall Subgroup）的存在性。
1933 Hall 開始了他關於 p-群的研究。
1935 Brauer 開始了模特徵的研究。
1936 Zassenhaus 分類了有限的銳利 3-遞移置換群。
1938 Fitting 發現了 Fitting 子群（英語：Fitting Subgroup），證明了 Fitting 定理，即對於可解群，其 Fitting 子群包含其中心化子。
1942 Brauer 描述了一個恰好被某個質數整除的群的模特徵。
1954 Brauer 將擁有  （英語：Projective linear group#Finite fields） 作為一個對合中心化子的單純群進行分類。
1955 Brauer-Fowler 定理（英語：Brauer-Fowler Theorem）蘊含，擁有對合的給定中心化子的有限單純群具有有限個，對使用對合的中心化子進行的分類工作造成打擊。
1955 Chevalley 發現了 Chevalley 群（英語：Chevalley group），特別介紹了例外的 F4，E7 和E8 型單純群。
1956 Hall-Higman 定理（英語：Hall-Higman Theorem）對一個 p-可解群的表示法描述了質數冪階元的最小多項式的可能性。
1957 鈴木證實，所有奇階有限單中心 Abel 化群（英語：CA group）都是循環群。
1958 Brauer-鈴木-Wall 定理（英語：Brauer-Suzuki-Wall theorem）表徵了秩 1 射影特殊線性群，並且分類了單的中心 Abel 化群。
1959 Steinberg 發現了 Steinberg 群（英語：Steinberg group），給出了一些新的有限單純群， 3D4 和 2E6 型（後者由 Tits 獨立地幾乎同時發現）。
1959 關於廣義四元數群 Sylow 2-子群的Brauer-鈴木 定理（英語：Brauer-Suzuki theorem）特別之處，這些群均不單。
1960 Thompson 證明，一個具有質數階不動點自由自同構的群是冪零的。
1960 Feit，Marshall Hall 和 Thompson 證實，所有單的奇數階中心正規化群是循環群。
1960 鈴木發現了鈴木群（英語：Suzuki group），擁有 2B2 型。
1961 Ree 發現了 Ree 群（英語：Ree group），擁有2F4 和 2G2 型。
1963 Feit 和 Thompson 證明了奇數階定理（英語：Odd order theorem）。
1964 Tits 發現了 Lie 型群的 BN 對，找到了 Tits 群（英語：Tits group）。
1965 Gorenstein-Walter 定理（英語：Gorenstein-Walter theorem）對具有二面體 Sylow 2-子群的群進行分類。
1966 Glauberman 證明了 Z* 定理（英語：Z* theorem）。
1966 Janko 發現了 Janko 群  （英語：Janko group J1），大概一個世紀之後的第一個新的單純群。
1968 Glauberman 證明了 ZJ 定理（英語：ZJ theorem）。
1968 Higman 和 Sims 發現了 Higman-Sims 群（英語：Higman-Sims group）。
1968 Conway 發現了 Conway 群（英語：Conway group）。
1969 Walter 定理（英語：Walter's theorem）對擁有交換 Sylow 2-子群的群進行分類。
1969 鈴木散在群（英語：Suzuki sporadic group），Janko 群  （英語：Janko group J2），Janko 群  （英語：Janko group J3），McLaughlin 群（英語：McLaughlin group）以及 Held 群（英語：Held Group）的發現。
1969 Gorenstein 基於 Thompson 的靈感發現信號化子函子。
1970 MacWilliams 證實，擁有秩 3 非正規交換子群的群，截面 2-秩至多 4。[註釋 8]
1970 Bender 發現廣義 Fitting 子群（英語：generalized fitting subgroup）。
1970 Alperin-Brauer-Gorenstein 定理（英語：Alperin-Brauer-Gorenstein theorem）對擁有擬二面體或纏繞 Sylow 2-子群的群進行分類，完成了 2-秩至多 2 的單純群的分類工作。
1971 Fischer 發現了所有三個 Fischer 群（英語：Fischer group）。
1971 Thompson 對二次對（英語：quadratic pair）進行分類。
1971 Bender 對擁有強嵌入子群的群進行分類。
1972 Gorenstein 給出一個 16 步的程序，用於分類有限單純群；最終的分類定理相當封閉地遵從他給出的大綱。
1972 Lyons 發現了 Lyons 群（英語：Lyons group）。
1973 Rudvalis 發現了 Rudvalis 群（英語：Rudvalis group）。
1973 Fischer 發現了小魔群（未發表），這被 Fischer 和 Griess 用於發現魔群，而這又促使 Thompson 發現 Thompson 單純群（英語：Thompson sporadic group）、Norton 發現原田-Norton 群（英語：Harada-Norton group）（後者被原田以另一種方式發現）。
1974 Thompson 對 N-群（英語：N-group）進行分類，所有這些群的局部子群均可解。
1974 Gorenstein-原田定理（英語：Gorenstein-Harada theorem）對截面 2-秩至多 4 的單純群進行分類，將剩餘的有限單純群分為組件型群和特徵 2 型群。
1974 Tits 證實， 擁有秩至少 3 的 BN 對的群是 Lie 型群。
1974 Aschbacher 對具有適當的二元生成核心的群進行分類。
1975 Gorenstein 和 Walter 證明 L-平衡定理（英語：L-balance theorem）。
1976 Glauberman 證明可解信號化子函子定理。
1976 Aschbacher 證明組件定理（英語：component theorem），大致證實，滿足一些控制條件的奇型群[來源請求]存在標準形式組件。這種擁有標準型式組件的群由許多作者以大量論文進行分類。
1976 O'Nan 發現了 O'Nan 群（英語：O'Nan group）。
1976 Janko 發現了 Janko 群  （英語：Janko group J4），最後一個被發現的單純群。
1977 Aschbacher 在他的經典對合定理（英語：Classical involution theorem）中表徵了偶特徵 Lie 型群。在這個定理之後[註釋 9]，人們普遍認為分類定理的終點已然在望。
1978 Timmesfeld 證明了 O2 頗殊定理，將 GF(2) 型群（英語：groups of GF(2)-type）的分類工作細化為幾個更小的問題。
1978 Aschbacher 對薄有限群（英語：thin group）進行分類，這些群是偶特徵域上的 Lie 型特徵 1 群。
1981 Bombieri 使用消元理論完成了 Thompson 在 Ree 群（英語：Ree group）特徵的工作，這是分類工作最艱巨的步驟之一。
1982 McBride 證明了所有有限群的信號化子函子定理。
1982 Griess 以人力構造出了魔群。
1983 Gilman-Griess 定理（英語：Gilman-Griess theorem）以標準組件[註釋 10]對特徵 2 型群和秩至少 4 的群進行分類。
1983 Aschbacher 證明，沒有有限群能夠滿足三分定理獨立性情況的假設條件。
1983 Gorenstein 和 Lyons 證明了對特徵 2 型群和秩至少 4 的群的三分定理（英語：Trichotomy theorem），同時 Aschbacher完成了秩 3 的情況。該定理將這些群分為三個情形：獨立性情況、GF(2) 型群、擁有標準組件的群。
1983 Gorenstein 宣佈分類定理已經完成，但實際因為擬薄群情況的證明尚未完成而為期尚早。
1985 Conway，Curtis，Norton，Parker，Wilson 和 Thackeray 發表了有限單純群地圖（英語：Atlas of finite groups），介紹了約 93 個有限單純群的基本資訊。
1994 Gorenstein，Lyons 和 Solomon 開始着手於修正後的分類定理的證明。
2004 Aschbacher 和 Smith 發表了他們在擬薄群（英語：Quasithin group）上的工作[註釋 11]，填上當時已知的分類定理的最後一處空缺。
2008 原田和 Solomon 通過描述一個具有標準組件的群填補了分類定理的一個小漏洞，這個標準組件是 Mathieu 群（英語：Mathieu group） M22 的一個覆蓋，由於其 Schur 乘數的一處計算紕漏，該案例被從分類定理的證明中意外略去。
2012 Gonthien 與其同事宣佈了使用 Coq 證明助手（英語：proof assistant）完成的 Feit-Thompson 定理（英語：Feit-Thompson theorem）的一個計算機檢驗版本。[28]

第二代分類證明

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這個定理於 1985 年左右的證明版本被稱作第一代分類證明，由於它令人瞠目結舌的長度，人們將注意力放在了尋找一個更簡潔的證明上，稱作第二代分類證明。這部分被稱作 「修正主義」 的工作最開始由·Daniel Gorenstein 所牽頭進行。

到 2023 年為止，已經有數十卷的第二代證明被發表（Gorenstein，Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023）。在 2012 年， Solomon 估計這項工程還需要另外的五卷，但表示進展緩慢。估計上，新的證明將最終寫滿近 5000 張紙[註釋 12]。然而，隨着關於 GLS 系列，同時包含 Aschbacher-Smith 組件的第 9 卷的發表，這一估計已經被打破了，而更多的幾卷仍在計劃中[註釋 13]。Aschbacher 和 Smith 稍早些寫就的兩卷，因為其對擬薄群的情形有足夠大的貢獻，因為被容納作為第二代證明的一部分。

Gorenstein 和他的同事已經給出幾點原因，用以說明一個更簡潔的證明存在可能。

  • 其中最關鍵的一點，現在正確的最終表述是已知的。能夠適用於相關工作的更簡潔的手法已經被證實對於判定這些群是否有限單是足夠的了。相比之下，致力於第一代證明的學者們並不知道具體存在多少散在單純群，而且實際上其中一些單純群比如 Janko 群甚至是在其他情形的分類定理完成證明之後才被發現的。因而這份證明版本得到許多部分是通過更泛用的工具完成的。
  • 由於最終結論並不確定，第一代證明涵蓋了許多獨立存在的完整定理用於處理一些重要的特殊情況。這些大量的證明定理的工作致力於分析數目繁多的特殊情況。如果給出一個更大、更精密的證明，這些氮雜的特殊情況就可以推遲到最有力的假設被證明之後再處理了。而這樣做的代價就是，像第一代證明那樣的一系列簡短證明不復存在，而是會被一個更加周密的分類所涵蓋。
  • 第一代證明中的很多定理存在重疊部分，將一些可能的情況以一種效率低下的方式進行分類。因而有限單純群的族和子族有時被重複驗證了很多次。修正後的證明將依賴於不同的情形細分以規避這些冗餘。
  • 有限群理論研究者現在對於這種練習已經有了更豐富的經驗，並且在處理這些結構時掌握着更先進的工具。

Aschbacher (2004) 將 Ulrich Meierfrankendeld，Bernd Stellmacher，Gernot Stroth以及其它一些人在分類問題上的工作稱作第三代分類問題。其目標之一是使用合併法統一處理所有特徵 2 型群。

除去對特例的簡化，一些新的方法和工具也被應用到簡化上，數學家最近使用計算群論和範疇論的理論方法實現 Aschbacher 在Fusion Theory提出的簡化計劃，現在的具體方法是通過 MAGMA 算法解決較小階的p群問題。[29]

證明的長度

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Gorenstein 給出過一些原因，解釋為什麼分類定理可能沒有一個像緊 Lie 群分類工作那樣的簡短的證明。

  • 最顯而易見的原因是，單純群的種類客觀上本就很複雜：有 26 個散在群，他們在任何證明中都只能被當作許多特殊情況處理。至今還沒有人能夠給出一個清晰的統一表述去像 Dynkin 根系處理緊 Lie 群分類定理一樣參數化地描述這些單純群。
  • Atiyah 和其他人建議，分類定理應當通過構建一些這些群作用的幾何物件並對其進行分類來簡化。問題在於，還沒有人能夠給出一個簡單的方式以尋找這樣一個聯繫到單純群的幾何物件。在某種意義上，分類定理的確依靠尋找幾何物件比如 BN-對（英語：BN-pairs）而運作。
  • 其他一些簡化的建議是讓群表示論發揮更大的作用。這裏的問題則是，表示論似乎要對群的子群進行非常細緻的控制才能很好地起作用。對於小秩的群來說，我們或許能進行這樣的控制使得表示論發揮作用，但對大秩的群來說，還沒有人能成功將其用於簡化分類定理。在分類工作的早期，人們花費了大量精力去嘗試應用表示論，但在較高秩的情況中沒有獲得多少成功。

參見

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  1. 信號化子函子（英語：signalizer functor）
  2. O'Nan-Scott 定理（英語：O'Nan-Scott theorem）

註釋

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  1. ^   型 Ree 群的無窮族僅包含有限個 Lie 型群。當   時，它們是單的；當   時，群   不單，但是其擁有一個單的換位子群  。因此，如果   型換位子群的無窮族被認作一個系統的無窮族（全部   的 Lie 型群），那麼 Tits 群  （作為無窮族的一員）非散在。
  2. ^ Quasithin 群並無標準譯名，quasithin 一詞亦非人名，此處以擬薄群暫稱。
  3. ^ 同樣，Pariah 群亦無標準譯名。
  4. ^ 這裏的秩和前面的秩含義不同，指的是這個 Lie 群對應的 Lie 代數的秩。
  5. ^ 對於低 2-秩的群，這一證明不再有效，像信號化子函子定理這樣的理論僅適用於擁有 2-秩至少為 3 的基本 Abel 子群的群。
  6. ^ The semisimplicity of 2-layers.
  7. ^ Quasi-standard form
  8. ^ 擁有滿足後一種情況的 Sylow 子群的單純群之後由 Gorenstein 和原田分類。
  9. ^ 從某種意義上來說，它涉及到 「大多數」 單純群
  10. ^ 三分定理三種情形之一。
  11. ^ 絕大多數是偶特徵域上秩至多 2 的 Lie 型群。
  12. ^ 這一長度部分地歸因於第二代證明將會以一種更輕鬆的風格寫就。
  13. ^ 其餘部分原本計劃於第 9 卷以及預計的第 10、11 卷。

參考文獻

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  1. ^ Aschbacher; Michael. The Status of the Classification of the Finite Simple Groups (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2004, 51 (7): 736-740. 
  2. ^ Griess, Robert L. The friendly giant. Inventiones mathematicae. 1982-02, 69 (1). ISSN 0020-9910. doi:10.1007/BF01389186. 
  3. ^ Griess, Robert L. The friendly giant. Inventiones mathematicae. 1982-02, 69 (1). ISSN 0020-9910. doi:10.1007/BF01389186. 
  4. ^ Twelve Sporadic Groups. "The Friendly Giant". doi:10.1007/978-3-662-03516-0.pdf （英語）. 
  5. ^ Gorenstein, Daniel. Finite simple groups. The University series in mathematics. New York: Plenum Press. 1982. ISBN 978-0-306-40779-6. 
  6. ^ Gorenstein, Daniel. The classification of finite simple groups. New York: Plenum Pr. 1983. ISBN 978-0-306-41305-6. 
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